基本初等函數在其定義域內都是連續的.
根據極限運算法則和連續函數定義可知：有限個連續函數的和、差、積、商(分母不為0)也是連續函數；由連續函數複合而成的複合函數也是連續函數.因此，得到初等函數連續性的重要結論:
一切初等函數在其定義區間內都是連續函數，即如果點x0是初等函數f(x)定義區間內一點，那麽limx→x0f(x)=f(x0).注
意利用函數的連續性來求函數的極限.例147求limx→0ln(1+x)x.
解limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=ln e=1.
例148求limx→0x2+1－1x.
解當x→0時，分母、分子的極限都為零，此極限為00型，要設法消去為零因式，首先分子有理化.limx→0x2+1－1x=limx→0(x2+1－1)(x2+1+1)x(x2+1+1)=limx→0xx2+1+1=0.圖142
四、 閉區間上連續函數的性質
1. 最大值和最小值的定理
定理144(最大值與最小值定理)在閉區間上的連續函數一定有最大值和最小值.
閉區間［a,b］上的連續函數f(x)在點x=a和x=ξ1處取得最小值m，在點x=ξ2處取得最大值M(如圖142).
推論141(有界性定理)閉區間上的連續函數在該區間一定有界.注
意定理144中“閉區間”和“連續函數”是兩個重要條件，缺少一個，定理不能保證成立.圖143
例如：函數f(x)=1－x0≤x