考試要點剖析
一、理解函數的概念,掌握函數的表示方法,會進行函數記號的運算.掌握基本初等函數的性質及其圖形;了解初等函數的概念.
1. 函數的定義
設x和y是兩個變量,D是一個給定的數集.如果對於每個數x∈D,變量y∈R按照一定法則,總有唯一確定的數值y和它對應,則稱y是x的函數,記為y=f(x).
其中f稱為對應法則,D稱定義域,R稱值域.(表示法有公式法、表格法、圖形法等)
【概念理解點撥】
1) 定義域D是給定的,對任給一個x∈D值,隻有唯一的y的值與之對應.
2) 函數的兩個要素:定義域和對應法則(預先給定的),與用什麽字母表示無關.
3) 對於兩個給定的函數當且僅當兩個函數定義域和對應法則都對應相等才能說兩個函數相等.
4) 求函數f(x)的定義域,就是求使y的取值和運算有意義的自變量x的取值範圍.
【例1.1】已知f(lnx)=1+x2，求f(x).
【分析】一般來說，遇到抽象的複合函數往往都是先做變量代換，再利用函數與用什麽字母表示無關來做.
【詳解】令lnx=t,則x=et,所以f(t)=1+e2t,即f(x)=1+e2x,x∈R.
2. 函數的分類
(1) 基本初等函數
1) 冪函數:y=xμμ∈R;2) 指數函數y=ax(a0且a≠1);
3) 對數函數:y=logxa(a0且a≠1);4) 三角函數:y=sinx,y=cosx,y=tanx等;
5) 反三角函數:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等.
【評注】基本初等函數定義域、值域、性質和圖形必須牢記.
(2) 反函數：設函數y=f(x)的值域為Dy,如果對於Dy中任一y值,從關係式y=f(x)中可確定唯一的x值,則此時按照函數的定義,也確定了x是y的函數,稱此函數為y=f(x)的反函數,記為x=f－1(y).習慣上也稱y=f－1(x)是y=f(x)的反函數.
【概念理解點撥】
1) 單調函數存在反函數.
2) 反函數y=f－1(x)與y=f(x)有相同的單調性.