無窮之中的無窮
伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564——1642）是16世紀意大利偉大的博學家，他提醒我們——無限集合和有限集合的性質有著根本上的不同。正如本書第一頁所暗示的，如果一個有限集合的元素可以和另一個集合的部分元素配對，那麽第一個集合的大小就小於第二個。然而，與此相反，我們可以用這種方法將無限集合與自身的子集對應起來（這裏子集這個術語表示原集合內包含的一個集合）。要理解這一點，我們都不需要超出自然數數列1，2，3，4，…。我們可以輕易地舉出這個集合的任意多個子集，它們都形成無限集合，從而與全集形成一一對應的關係（如圖8）：奇數1，3，5，7，…；平方數1，4，9，16，…；不那麽明顯的素數2，3，5，7，…。並且在每種情況下，其相應的補集（complementary set），即偶數、非平方數及合數，也都是無窮的。
圖8 與自然數配對的偶數和平方數
希爾伯特旅館
大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862——1943）是他那個年代最傑出的德國數學家。一家十分奇特的旅館總是與他的名字聯係在一起，它生動地體現了無限集合的奇妙性質。這家旅館的主要特點是它有無窮多房間，用1，2，3，…來編號，還誇下海口，希爾伯特旅館（Hilbert Hotel）總是有空房。
一天晚上，這家旅館卻客滿了，也就是說每一間房裏都住了一位客人。令前台服務員沮喪的是，又一個客人出現了，並要住一間房。幸好經理出手了，他把服務員拉到一邊，教他如何處理這種情況，這才避免了尷尬的局麵。“讓1號房的客人搬到2號房，”他說，“2號房的搬到3號，以此類推。換句話說，我們通知整個旅館，要求n號房的客人換到n＋1號房中，這樣1號房就可以空出來給這位客人了！”