這裏所要說明的“數學”這一個詞，包含著算術、代數、幾何、三角等。用英文名詞來說，那就是Mathematics。它的定義，照平常的想法，非常簡單、明了，幾乎用不到再說明。若真要說明，問題卻有很多。且先舉羅素（Russell），他在所著的《數理哲學》中提出的定義，真是叫人莫名其妙，好像在開玩笑一樣。他說：“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true．”
將這句話粗疏地翻譯出來，就是： “數學是這樣一回事，研究它這種玩意兒的人也不知道自己究竟在幹些什麽。”
這樣的定義，它的惝恍迷離，它的神奇莫測，真是“不說還明白，一說反糊塗”。然而，要將已經發展到現在的數學的領域統括得完全，要將它繁複、燦爛的內容表示得活躍，好像除了這樣也沒有別的更好的話可說了。所以伯比裏慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易·古度拉特（Louis Couturat）幾位先生對於數學所下的定義也和這個氣味相同。
對於一般的數學讀者，這定義，恐怕反而使大家墜入五裏霧中，因此撥雲霧見青天的工作似乎少不了。羅素所下的定義，它的價值在什麽地方呢？它所指示的是什麽呢？要回答這些問題，還是用數學的其他定義來相比較更容易明白。
在希臘，亞裏士多德（Aristotle）那個時代，不用說，數學的發展還很幼稚，領域也極狹小，所以隻需說數學的定義是一種“計量的科學”，便可使人心滿意足了。可不是嗎？這個定義，初學數學的人是極容易明白、滿足的。他們解四則問題，學複名數的計算，再進到比例、利息，無一件不是在計算量。就是學到代數、幾何、三角，也還不容易發現這個定義的破綻。然而仔細一想，它實在有些不妥帖。第一，什麽叫作量，雖然我們可以用一般的知識來解釋，但真要將它的內涵弄明白，也不容易。因此用它來解釋別的名詞，依然不能將那名詞的概念明了地表示出來。第二，就是用一般的知識來解釋量，所謂計量的科學這個謂語也不能夠明確地劃定數學的領域。像測量、統計這些學科，雖然它們各有特殊的目的，但也隻是一種計量。由此可知，僅僅用“計量的科學”這一個謂語聯係到數學而成一個數學的定義，未免廣泛了一點兒。