量本來是抽象的，為了容易想象，我們前麵說誘導函數的效用和計算法的時候，曾經找出運動的現象來做例。現在要確切一點地來講明白數學的函數的意義，我們用的方法雖然和前麵用過的相似，但要比它更一般些。
誘導函數的一般的定義是怎樣的呢？
從以前所講過的許多例子中，可以看出來：誘導函數是表示函數的變化的，無論那函數所倚靠的變數小到什麽地步，總歸可表示出函數在那兒所起的變化。誘導函數指示給我們看，那函數什麽時候漸漸變大和什麽時候漸漸變小。它又指示給我們，這種變化什麽時候來得快、什麽時候來得慢。而且它所能指示的，並不是大體的情形，簡直連變數的值雖隻有無限小的一點變化，函數的變化狀態也指示得非常清楚。因此，研究函數的時候，誘導函數實在占據著很重要的位置。關於這種巧妙的方法的研究和解釋，以及關於它的計算的發明，都是非常有趣的。它的發明十分奇異，結果又十分豐富，這可算是一種奇跡吧！
然而追根究底，它不過是從數學的符號的運用當中誘導出來的。不是嗎？我們用Δ這樣一個符號放在一個量的前麵，算它所表示的量是無限小的，它可以逐漸減小下去，而且是可以無限地減小下去的。我們跟著就研究這種無限小的量的關係，便得出誘導函數這一個奇怪的量。
起源雖很簡單，但這些符號也並不是就可以任意誘導出來的。照我們前麵已講明的看來，它們原是為了研究任何函數無限小的變化的基本運算才產生的。它逐漸展開的結果，對於一般的數學的解析，卻變成了一個精確、恰當的工具。
這也就是數學中，微分學這一部分，又有人叫它是解析數學的原因。
一直到這裏，我們已經好幾次說到，對於誘導函數這一類東西，要給它一個精確的定義，但始終還是沒有做到，這總算一件憾事。原來要抽象地了解它，本不容易，所以隻好慢慢地再說吧。單是從數學計算的實際上，是不能再找到這些東西的定義了，所以隻好請符號來說明。一開始舉例，我們就用字母來代表運動的東西，這已是一種符號的用法。