一、極大似然估計
關於極大似然估計，我們可以先看一個例子：
某位同學與一位獵人一起外出打獵時，一隻野兔從前方竄過。隻聽一聲槍響，野兔應聲倒下，如果讓你推測，這一發命中的子彈是誰打的，你就會想，隻發一槍便打中，由於獵人命中的概率一般大於這位同學命中的概率，看來這一槍是獵人打的。
在上述例子中，關於結果所做的推斷（執果尋因）就體現了極大似然估計的基本思想。
我們以DINA模型為例，通過估計其項目參數來講解極大似然估計的原理和過程。
若我們已獲得所有被試在測驗第i題上的作答得分向量（x1，x2，x3，…，xn），以及所有被試的屬性掌握模式αj（j=1，2，…，n），該題的屬性向量為qi。我們的目標是估計未知的項目參數βiη。
因此，求項目參數βiη的估計值的問題，就變成了求似然函數L（βiη）的最大值的問題。而求函數極大值的問題，隻要導函數存在，一般就會轉化為求函數對未知參數的一階導並令其為0的方程根的問題。所以，求上麵這個似然函數極值的問題可通過解下麵這個方程：
來解決。解這個方程得到的βiη值，就是項目參數的合理估計值。
似然函數式（7-2）為概率的連乘積，如果對該似然函數式取對數，則可以轉換為概率連加和的形式，這將大大簡化計算過程。而且，因為lnL是L的增函數，所以，lnL與L會在相同位置取得最大值。我們稱l（βiη）=lnL（βiη）為對數似然函數（log-likelihood function）。因此，我們常將方程（7-3）寫成：
方程（7-4）稱為對數似然方程。解方程（7-4）或（7-3）得到的值，就是項目參數的極大似然估計值。
總結求極大似然估計值的一般步驟如下：
①導出樣本結果的聯合概率函數（或聯合密度）；