圓法的全稱為“哈代·李特伍德圓法”,不但是研究哥德巴赫猜想的重要工具,更是解析數論中常備用到的重要工具。
而關於這個工具的發明,並非是在哥德巴赫問題上。現在數學界普遍認為的觀點是,這一概念是哈代在與拉馬努金研究“整數拆分的漸近分析”問題中最先出現的,而後在哈代與李特伍德合作研究華林問題時,被補充完整。
如今,作為研究哥德巴赫猜想的重要工具,這項工具已經被後世的數學家發揚光大。
比如站在講台上的赫爾夫戈特,便是當今數論界中,圓法理論的大牛。
“……哥德巴赫猜想的內涵為任意大於2的偶數都可寫成兩個質數之和,我們姑且稱之為猜想A。”
“……由於奇數減去奇素數是一個偶數,猜想A認為任何偶數都等於兩個素數之和,故而用猜想A可得推論猜想B,任意大於9的奇數都可以寫成三個奇素數之和。”
開場白說到這裏,赫爾夫戈特頓了頓,繼續說。
“而我所講述的‘圓法’,便是證明其哥德巴赫猜想的弱猜想,即猜想B!”
猜想A成立,猜想B一定成立。
但反過來,卻不行。
至於為什麽,這涉及到一個邏輯數學中很有趣的問題。用初等數學難以描述,但用描述性的語言來解釋的話,就是“任意大於9的奇數與奇素數之和”所組成的集合,與“任何偶數”這一集合不等價,且交集中的所有元素無限多,亦不可窮舉證明。
其實抽象的來看,無論是圓法的“偶數集合”還是篩法的“1+1形式”,大家都是半斤八兩,都差最後的臨門一腳。
這個距離可能是隔著一條河,也可能是兩山對望。
簡短的開場白之後,赫爾夫戈特也不廢話,在白板上寫下了一行算式。
【……當2N,有(N)=1/2n(N2/N3)∏(1-1/(p-1)2)∏(1+1/(p-1)2),(1+O(1))】