第二十四章 拓撲之路
黃明哲的第一個方向，就是整合分析拓撲和代數拓撲。
拓撲學的英文名是Topology，直譯是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。
國內早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，
但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平麵幾何、立體幾何不同。
通常的平麵幾何或立體幾何研究的對象是點、線、麵之間的位置關係以及它們的度量性質。
拓撲學對於研究對象的長短、大小、麵積、體積等度量性質和數量關係都無關。
而拓撲學經常被描述成“橡皮泥的幾何”，就是說它研究物體在連續變形下不變的性質。
比如，所有多邊形和圓周在拓撲意義下是一樣的，因為多邊形可以通過連續變形變成圓周。
一個茶杯可以連續地變為一個實心環，在拓撲學家眼裏，它們是同一個對象；而圓周和線段在拓撲意義下就不一樣，因為把圓周變成線段總會斷裂（不連續）。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。
一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。
另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。
這兩個分支到現在又有統一的趨勢，而這也是黃明哲的研究發向。
而拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用。
不過要統一分析拓撲和代數拓撲，顯然也不是一件容易的事情，一邊瀏覽大量的論文，一邊又在學校圖書館找拓撲學的相關書籍。