有一隻青蛙跳進一條東西方向的水泥管道中,每次可以選擇向東跳也可以向西跳。青蛙第一次跳1的平方厘米,第二次跳2的平方厘米……第19次跳19的平方厘米。青蛙跳完19次後,必須達到距原位置東方２００８厘米處。假設青蛙完成此任務的方案中最後一跳向西的距離為ｎ的平方厘米,請問所有可能中ｎ最小值是多少?
參考答案
假設跳了ｎ步。將往西方向跳的距離之和記計ｓ,那麽這距離ｓ為一些完全平方數之和。
那麽依題意有:１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２－２ｓ＝２００８。
即有:ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)÷６＝２００８＋２ｓ。
好了,我們進行如下的嚐試:
ｎ≤１７時,上式左邊≤１７×１８×３５÷６＝１７８５,而右邊≥２００８,不可能,即被排除掉;
ｎ＝１８時,上式左邊＝１８×１９×３７÷６＝２１０９,而右邊是偶數,不可能,因此被排除掉;
ｎ＝１９時,上式左邊＝１９×２０×３９÷６＝２４７０,於是可求得ｓ＝２３１。現在要考察ｓ是否能寫成幾個完全平方數之和。好了,我們就可以知道２３１＝１９６＋２５＋９＋１＝１４２＋５２＋３２＋１２。由此可知,隻跳１９步即可滿足要求。
方法是:其中第１步、第３步、第５步以及第１４步都向西跳,其餘的步數均向東跳就可以做到。這樣就可以知道,ｎ最小為１９。
還是這隻青蛙,好不容易從水泥管道中跳出來,一用力,不好!掉進了枯井裏,它要往上爬３０尺才能達到井口,每小時它總是爬３尺,又滑下２尺。問這隻倒黴的青蛙需要多少小時才能爬到井口?
參考答案
28小時。
看起來這隻倒黴的青蛙每小時隻往上爬3-2=1(尺)的距離,但爬了27小時後,它再爬1小時,往上爬了3尺,就已經到達了井口,可以從井裏出來了,它不會再叫自己滑下2尺的。因此,答案是28小時,而不是我們按每小時爬1尺得來的30小時。因為最後1小時跟以前的1小時是不一樣的。這點你想到了嗎?