（按在本文中出現的順序所寫）
※在本文中，有所進行說明的概念以及詞匯在此省略。
圓柱和球的體積
阿基米德的實際算法如下：
首先，思考半徑為r的半球，底麵半徑為r，且高為r的圓錐，然後思考底麵半徑為r，且高為r的圓柱（如圖所示）。
一看我們便知體積最大的是圓柱，體積最小的是圓錐。然後在半球裏裝滿水，將其放入圓柱裏，思考要放多少杯水才能裝滿。然後將體積轉換成重量，阿基米德猜想圓柱的重量=圓錐的重量+半球的重量。將這些立方體切成薄片的時候，試著比較一下它們各自的麵積。
從左圖開始，依次是圓柱、圓錐、半球。在三個物體裏水平地切三個等高片層，各個切口都是圓形，麵積算法如下所示：
圓柱：r×r×π=πr2
圓錐：h×h×π=πh2
半球：
在這裏，將圓錐和半球的麵積加起來就是πh2+π(r2—h2)=πr2，和圓柱的麵積完全一致。不管從哪裏切，切下的片層麵積都是圓錐+半球=圓柱，所以體積也是圓錐+半球=圓柱。圓柱的體積是底麵積×高，即πr3。在這裏我們知道，圓錐是圓柱的1/3，即1/3(πr3)。所以，半球的體積就是圓柱—圓錐，即2/3(πr3)，因為球是半球的2倍，所以球的體積就是4/3(πr3)。
自然數
自然數即非負整數。可以按以下順序擴展開來。自然數（零和正整數）→整數（包括正整數、零和負整數）→有理數（可以用分數形式表示的全體數）→實數（包括有理數和像 和π等在內的以及不能用分數表示的“無理數”）→複質數（包括2次方後為負數的虛數）。
質 數
質數是在自然數中除了1和它本身以外不再有其他的因數。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等，數學家們最終證明了存在無窮大的質數（質數有無限個）。2010年2月至今，據說發現的最大質數是243,112,609-1，大約是2的4300萬次方，約有1300萬位數。在數學的許多未解猜想中有很多都和這個質數有關，因此單純的質數定義在數字的世界裏就有很多未解之謎，所以存在研究的價值。同時，將一個非質數（稱作合數）用幾個質數相乘的形式表達出來叫作分解質因數。例如，60可以分解成2×2×3×5。