由於求某些實際問題的精確而產生了極限的思想.例如，我國春秋戰國時期的哲學家莊子在《天下篇》中有如下描述：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”，就體現了初步的極限思想.極限是微積分學中一個基本概念，極限是變量變化的終極狀態.微分學與積分學的許多概念都是由極限引入的，並且最終都是由極限來解決.因此，在微積分學中，極限占有非常重要的地位.
一、 x→∞時函數的極限
引例121分析反比例函數y=1x，當x無限增大時的變化趨勢.
分析當x→+∞時，y=1x的值無限趨於0；
當x→－∞時，y=1x的值也無限趨於0.
從而當x→+∞時，x→∞時，函數y=1x的值無限趨於0.
定義121如果當x無限增大時，函數f(x)無限趨近於一個確定的常數A，則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作limx→∞f(x)=A或f(x)→A(當x→∞時).同理，可以定義x→+∞或x→－∞時，函數f(x)時的極限.
例如，limx→∞1x=0；limx→+∞12x=0；limx→-∞2x=0.注
意如果limx→∞f(x)=A，則把直線y=A稱為曲線y=f(x)的水平漸近線.定理121limx→∞f(x)=A limx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A.
例121討論當x→∞時，函數y=arctanx的極限.
解考察函數y=arctanx的函數值隨自變量變化的變化趨勢，圖形見附錄1.
從圖形上看，limx→+∞arctanx=π2，limx→-∞arctanx=－π2.
因為limx→+∞arctanx≠limx→-∞arctanx，所以當x→∞時，y=arctanx極限不存在.說明曲線y=arctanx有兩條水平漸近線，分別為y=π2和y=－π2.注
意數列是自變量取自然數時的函數(通常稱為整標函數)xn=f(n)，因此，數列是函數的一種特殊情況.例122觀察下列函數的圖像，說出當x→∞時的極限.
（1） y=1x2；（2） y=ex；（3） y=C(C為常數).
解由圖121，圖122，圖123知，
圖121