椅子能在不平的地麵上放穩嗎？下麵用數學建模的方法解決此問題.把椅子往不平的地麵上一放，通常隻有三隻腳著地，放不穩，然而，隻需要稍微挪動幾次，就可以使四隻腳同時著地，放穩了，可用數學工具證實嗎？
1. 模型準備
仔細分析本問題的實質，發現本問題與椅子腿、地麵及椅子腿和地麵是否接觸有關.如果把椅子腿看成平麵上的點，並引入椅子腿和地麵距離的函數關係就可以將問題1與平麵幾何和連續函數聯係起來，從而可以用幾何知識和連續函數知識來進行數學建模.為討論問題方便，我們對問題進行簡化，先做出如下3個假設：
2. 模型假設
(1) 椅子的四條腿一樣長，椅子腳與地麵接觸可以視為一個點，四腳連線是正方形（對椅子的假設）.
(2) 地麵高度是連續變化的，沿任何方向都不出現間斷（對地麵的假設）.
(3) 椅子放在地麵上至少有三隻腳同時著地（對椅子和地麵之間關係的假設）.
根據上述假設結論本問題的模型構成：
圖21椅子旋轉示意圖
3. 模型構成
用變量表示椅子的位置，引入平麵圖形及坐標係如圖21.圖中A、B、C、D為椅子的四隻腳，坐標係原點選為椅子中心，坐標軸選為椅子的四隻腳的對角線.於是由假設2，椅子的移動位置可以由正方形沿坐標原點旋轉的角度θ來唯一表示，而且椅子腳與地麵的垂直距離就成為θ的函數.注意到正方形的中心對稱性，可以用椅子的相對兩個腳與地麵的距離之和來表示這對應兩個腳與地麵的距離關係，這樣，用一個函數就可以描述椅子兩個腳是否著地情況.本題引入兩個函數即可以描述椅子四個腳是否著地情況.記函數f(θ)為椅腳A和C與地麵的垂直距離之和.函數g(θ)為椅腳B和D與地麵的垂直距離之和.則顯然有f(θ)≥0、g(θ)≥0，且它們都是θ的連續函數（假設2）.由假設3，對任意的θ，有f(θ)、g(θ)至少有一個為0，不妨設當θ=0時，f(0)0、g(0)=0，故問題1可以歸為證明如下數學命題：