北方城鎮的窗戶玻璃是雙層的,這樣做主要目的是為室內保溫。試用數學建模的方法給出雙層玻璃能減少熱量損失的定量分析結果.
1. 模型準備
本問題與熱量的傳播形式、溫度有關.檢索有關的資料得到與熱量傳播有關的一個結果，它就是熱傳導物理定律:
厚度為d的均勻介質,兩側溫度差為ΔT,則單位時間由溫度高的一側向溫度低的一側通過單位麵積的熱量Q,與ΔT成正比,與d成反比,即:
Q=kΔT/d
k為熱傳導係數.
2. 模型假設(根據上麵定律做假設)
(1) 室內的熱量傳播隻有傳導(不考慮對流,輻射)
(2) 室內溫度與室外溫度保持不變(即單位時間通過窗戶單位麵積的熱量是常數)
(3) 玻璃厚度一定,玻璃材料均勻(熱傳導係數是常數)
3. 模型構成
引入圖22，其中的符號表示:
d:玻璃厚度
T1:室內溫度
T2:室外溫度
Ta:靠近內層玻璃溫度
T2:靠近外層玻璃的溫度
圖22室內外溫度示意圖
L:玻璃之間的距離
k1:玻璃熱傳導係數
k2:空氣熱傳導係數
對中間有縫隙的雙層玻璃，由熱量守恒定律有
穿過內層玻璃的熱量=穿過中間空氣層的熱量=穿過外層玻璃的熱量
根據熱傳導物理定律，得
Q=k1T1－Tad=k2Ta－TbL=k1Tb－T2d
消去不方便測量的Ta,Tb,有
Q=k1T1－T2d(s+2),s=hk1k2,h=Ld
對中間無縫隙的雙層玻璃,可以視為厚為2d的單層玻璃,根據熱傳導物理定律，有
Q′=k1T1－T22d
而
QQ′=2s+2Q