1. 問題的提出
無論你是聽廣播，還是看報紙，或是收看電視，常可看到、聽到商品廣告.隨著社會向現代化的發展，商品廣告對企業生產所起的作用越來越得到社會的承認和人們的重視.商品廣告確實是調整商品銷售量的強有力手段，然而，你是否了解廣告與銷售之間的內在聯係？如何評價不同時期的廣告效果？這個問題對於生產企業、對於那些為推銷商品作廣告的企業極為重要.下麵我們介紹獨家銷售的廣告模型.
2. 模型假設
(1) 商品的銷售速度會因作廣告而增加，但這種增加是有一定限度的，當商品在市場上趨於飽和時，銷售速度將趨於它的極限值，當速度達到它的極限值時，無論再作何種形式的廣告，銷售速度都將減慢.
(2) 自然衰減是銷售速度的一種性質，即商品銷售速度隨商品的銷售率增加而減小.
(3) 令s（t）表示t時刻商品銷售速度；A（t）表示t時刻廣告水平（以費用表示）；M為銷售的飽和水平，即市場對商品的最大容納能力，它表示銷售速度的上極限；λ為衰減因子，即廣告作用隨時間增加而自然衰減的速度，λ0為常數.
3. 模型建立
問題中涉及的是商品銷售速度隨時間的變化情況：商品銷售速度變化=增長-自然衰減.
為描述商品銷售速度的增長，由模型假設1知商品銷售速度的淨增長率應該是商品銷售速度s（t）的減函數r（s），並且存在一個飽和水平M，使得r（M）=0.
為簡單起見，我們設r（s）為s（t）的線性減函數，則有
r（s）=p·1-s（t）M，
其中用p表示響應係數，即廣告水平A（t）對商品銷售速度s（t）的影響能力，p為常數.
因此可建立如下微分方程模型：
dsdt=p·1-s（t）M·A（t）-λs（t）.
4. 模型求解
從模型方程可知，當s=M或A（t）=0時，都有