考試要點剖析
反常積分的本質：對定積分兩類條件的破壞.
一、了解反常積分的概念，會計算反常積分.
1. 無窮區間上的反常積分
設函數
f(x)在區間
[a,+∞)上連續，稱
∫+∞af(x)dx=limx→+∞∫baf(x)dx為
f(x)在區間
[a,+∞)上的反常積分，若
limt→+∞∫taf(x)dx存在，則稱反常積分
∫+∞af(x)dx收斂；否則稱
∫+∞af(x)dx發散.
類似地，可定義
∫b-∞f(x)dx=limt→-∞∫btf(x)dx.
設函數
f(x)在區間
(-∞,+∞)上連續，若反常積分
∫c-∞f(x)dx與
∫+∞cf(x)dx都收斂，則稱反常積分
∫+∞-∞f(x)dx收斂，記為
∫+∞-∞f(x)dx=∫c-∞f(x)dx+∫+∞cf(x)dx.
【方法運用點撥】
1） 反常積分的計算方法：先求定積分，再求極限.
2） 若
F′(x)=f(x)，則
∫+∞af(x)dx=F(x)+∞a=limx→+∞F(x)-F(a)；
∫b-∞f(x)dx=F(x)b-∞=F(b)-limx→-∞F(x)；
∫+∞-∞f(x)dx=F(x)+∞-∞=limx→+∞F(x)-limx→-∞F(x).
3）
∫+∞0e-x2dx=π2，∫+∞-∞e-x2dx=π.（記住即可）
【例5.4】證明∫+∞adxxp（a0)當
p1時收斂，
p≤1時發散.
【證明】當p=1時，∫+∞adxxp=∫+∞adxx=lnx+∞a=+∞.
當p≠1時，∫+∞adxxp=x1－p1－p+∞a=+∞=+∞,p1.
綜上，當
p1時該反常積分收斂，其值為a1－pp－1；當
p≤1時該反常積分發散.
【評注】本例的特殊情況是:對∫+∞11xpdx，當p1時，收斂；當p≤1時，發散.考生可記住此結論，方便以後的計算.
2. 無界函數的反常積分
設
f(x)在區間
(a,b]上連續，且
limx→a+f(x)=∞.稱
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx為
f(x)在區間
(a,b]上的反常積分，若
limε→0+∫ba+εf(x)dx存在，則稱反常積分