重要概念、定理、公式、結論
1. 傅裏葉係數與傅裏葉級數:
f(x)~a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)
an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…
bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…
2. 狄利克雷收斂定理
設
f(x)
在
[-π,π]
上連續或有有限個第一類間斷點,且隻有有限個極值點,則
f(x)
的傅裏葉級數在
[-π,π]
上處處收斂,且收斂於
1) f(x），當x為f(x)的連續點.
2) f(x-0)+f(x+0)2,當x為f(x)的間斷點.
3) f(-π+0)+f(π-0)2,當x=±π
3. 周期為2π的函數的展開.
(1) [-π,π]上展開.
an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…
bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…
(2) [-π,π]上奇偶函數的展開.
1) f(x)為奇函數.
an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…
2) f(x)為偶函數.
an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…
(3) 在[0,π]上展為正弦或展為餘弦.
1) 展為正弦.
an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…
2) 展為餘弦.
an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…
4. 周期為2l的函數的展開.
(1) [-l,l]上展開.
an=1l∫l-lf(x)cosnπxldxn=0,1,2…
bn=1l∫l-lf(x)sinnπxldxn=1,2…
(2) [-l,l]上奇偶函數的展開.
1) f(x)為奇函數.
an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…
2) f(x)為偶函數.
an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=1,2…
(3) 在[0,l]上展為正弦或展為餘弦.
1) 展為正弦.
an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…
2) 展為餘弦.
an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=0,1,2…
強化突破題型
【題型六】有關狄利克雷收斂定理的問題
【方法點撥】關鍵是分清x為哪一類點.
【例30】函數f(x)=-1,-π