考試要點剖析
一、掌握用導數判斷函數的單調性.
1. 單調性判別法
設y=f(x)在[a,b］上連續，在(a,b)內可導，
(1) 若f′(x)≥0,(x∈(a,b)),則y=f(x)在[a,b］上單調增加;
(2) 若f′(x)≤0,(x∈(a,b)),則y=f(x)在[a,b］上單調減少;
【注】確定函數的單調區間:用一階導數等於零的點及一階導數不存在點對定義域劃分,然後判斷導函數在每個區間上的符號.
【例3.7】求下列函數的單調區間(1) y=1+36x（x+3)2;(2) y=1－（x－2)23.
【解析】(1) y′=36(3－x)(x+3)3=0 x1=3.
x(－∞,－3)(－3,3)3(3,+∞)
y′-+-
y單減單增單減
單調增加區間(－3,3］，單調減區間(－∞,－3),[3,+∞).
(2) y′=－23(x－2)－13
x(－∞,2)2(2,+∞)
y′+-
y單增單減
二、理解函數的極值的概念，掌握求函數極值的方法和函數最大值、最小值的求法及其簡單應用.
1. 極值定義
設函數f(x)在x0的某個鄰域內有定義,且存在δ0,當x∈U(x0∧,δ)有f(x)f(x0)[或f(x)0(0時f(x0)為極小值,f(n)(x0)0，則在點
x0的某個空心鄰域內，有1n!f(n)(x0)(x-x0)n0，從而f(x)f(x0),
此時
x0為
f(x)的極小值點；
若
f(n)(x0)0(在x=0的某空心領域);
由1－cosx0,有f(x)0=f(0),即f(x)在x=0取極小值,應選（D）.
本題還可特殊選取滿足題中條件的f(x)=x2顯然,它在x=0取得極小值,其餘的都不正確,這樣本題仍選（D）.
【例26】求函數y=x+3(1－x)13的極值.
【解析】令y′=1－1(1－x)23=0得駐點為x1=0,x2=2，而x3=1是導數不存在的點,得出下列表格
x(－∞,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+∞)
y′+--+
y↑↓↓↑
由上表知,f(0)是f(x)的極大值;f(2)是f(x)的極小值.
【例27】設函數f(x)在(－∞,+∞)內連續，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有().