首先，我們來深入研究一下明斯基和帕普特強調的感知器模型的問題。單層感知器無法實現一個很簡單的運算，被稱為“異或”(XOR)。我們先假設一個有兩個輸入的單層感知器，如下所示：
圖22 單層感知器，無法計算異或
而異或函數是這樣的：如果輸入1激活，或者輸入2激活，則觸發感知器輸出。而輸入1和輸入2同時激活或者同時不激活，都不觸發輸出。要理解為什麽單層感知器無法計算異或函數，首先，我們假設它可以計算，那麽，對於輸入1的權重值w1，輸入2的權重值w2，以及感知器的觸發閾值T，它們必須滿足如下要求：
·如果兩個輸入均未被激活，則神經元接收到的輸入權重為0，此時神經元要保持不被觸發，因此觸發閾值T必須大於0。
·如果隻有輸入1被激活，則感知器被觸發，因此w1必須大於觸發閾值T。
·如果隻有輸入2被激活，則感知器被觸發，因此w2必須大於觸發閾值T。
·如果輸入1和輸入2都被激活，則感知器不會被觸發，因此w1 + w2的值必須小於觸發閾值T。
但很容易就能看出，滿足上述所有要求的w1、w2和T值不存在，因此，感知器無法計算異或函數。
現在讓我們看看兩層感知器結構如何計算異或函數，如圖23所示。我可以肯定地說，這個感知器網絡能夠正確計算異或函數。它由三個神經元組成：當輸入1或者輸入2被激活時，神經元1會被觸發；當輸入1和輸入2沒有同時被激活，神經元2才會被觸發；最後，如果神經元1和神經元2都被觸發，神經元3才會被觸發。總而言之，輸入1和輸入2有一個被激活時，神經元3被觸發；而輸入1和輸入2同時被激活或者同時未被激活，神經元3都不會被觸發。
圖23 兩層感知器結構可以計算異或函數
更詳細地說，就是考慮如下四種情況：