我們已經習慣看見寫下來的數，也習慣於從中提取出某種意義。然而，一個數字(比如6)同它所代表的那個數並不是同一個東西。就像在羅馬數字中，我們會把六[1]這個數寫作VI，但是我們意識到這與用現代記號寫下的6代表了同一個數，都代表對應6根算籌(IIIIII)的那一類集合。讓我們先花一點點時間考慮一下表示和思考數的不同方法吧。
有時候，我們會在無意識的情況下解決一些關於數的問題。例如，假設你正要組織一次會議，想要保證每個人都拿到一份議程。你可以將每份議程逐個標上與會者的名字首字母。隻要完成這一工作之前議程一直沒用完，你就知道份數是足夠的。這樣你就解決了問題，而沒有用到算術或者直接數數。這裏數依然在發揮作用，它們使我們得以將一個集合同另一個集合進行精確比較，即便這兩個集合的組成元素有著截然不同的性質。就像上述例子裏，一個集合包含了人，而另一個集合則由紙張組成。數讓我們可以比較兩個集合的大小。
在上例中，你不需要費神去數有多少人將要出席，因為沒有必要知道——你的問題是判斷議程的份數是否不少於出席人數，而具體的數目無關緊要。但如果你是要為15個人買午飯，你就需要真正數一數人數了。當然，要計算這頓飯總共的開銷時，就一定得有人使用算術，哪怕是用計算器求和來得出精確的數值。
現代數字係統讓我們能以一種有效且統一的方式來表示數，這方便我們將一個數和其他數做比較，以及在計數問題中進行所需要的算術操作。日常生活中，我們在所有的算術中使用十進製，換句話說，我們十個十個地數數。這麽做的原因是偶然的：我們恰好有十根手指。需要明確的是，讓數的係統如此有效的原因並非我們對底數(base)的選擇，而是我們在數的表示中使用了位值進位法(positional value)，即一個數字的值取決於它在數字串中出現的位置。比如，1984是4份1加上8份10，再加上9份100，再加上1份1000的縮寫。