鑲嵌在數的拚圖中的素數
我們怎樣才能確定素數不會越來越稀少，最終逐漸消失殆盡呢？你可能會認為由於有無窮多自然數，而每一個都可以被分解為素數的乘積(這一點我們一會兒仔細解釋)，那麽必然得有無窮多個素數才能承擔這一工作。雖然這個結論是正確的，但它並不能從上述觀察中得出。這是因為如果我們從有限個素數開始，僅使用這些給定的素因數，我們就能製造出無窮多不同的數。確實如此，任何單個素數都有無窮多個冪次。比如，素數2的冪分別為2， 4， 8， 16， 32， 64，…因而完全可以設想：隻有有限多的素數，每個數都是那些素數的冪的乘積。更糟的是，我們能構造出一個給定數的任意長度的冪數列，或它的任意多倍數列，卻沒法用同樣的手段構造出一個由不同素數組成的無窮數列。對於素數，我們還是得去搜尋，到底怎麽才能確定它們不會絕跡？
在這一章結束的時候，我們便都會對這一點確定不疑了。首先，請你注意素數的一個值得一提的簡單“規律”。除了2和3以外的每一個素數，都與一個6的倍數相鄰。換句話說，在這兩個數之後的每一個素數，都是像6n±1這樣的形式，這裏n是某個確定的數。(記住6n是6×n的縮寫，符號±意思是加或減。)原因很好理解：每個數都一定可以寫成以下6種形式中的一種：6n，6n±1， 6n±2， 6n + 3，因為沒有數與6的某個倍數距離超過3。例如，17=(6×3)-1， 28=(6×5)-2，57=(6×9)+3。事實上，這6個形式的數是循環出現的，這意味著當你寫下任意6個連續的數，6種形式每個都會出現且僅出現1次。在這之後它們會一遍又一遍地循環出現，並且出現的順序總是相同的。很顯然6n和6n+2形式的數都是偶數。而任何形如6n+3的數都可以被3整除。因此，除了很顯然的例外2和3，隻有形如6n±1的數可能是素數。如果6n±1兩者都是素數，這種情況恰好對應於孿生素數：比如(6×18)±1給出一對數107和109，我們在第1章中提到過它們。你可能會猜測每對6n±1中至少有1個是素數——這對於100以下的素數來說的確是對的，但往前不遠就存在著第一個例外：(6×20)-1=119=7×17，(6×20)+1=121=11×11。當n = 20時這兩個數都不是素數。