數的完美性
對於取值小的數，我們通常能輕易找到特殊的性質來刻畫它們，比如，3是唯一等於之前所有數之和的數，而2是僅有的偶素數(這使得它成為最怪異的素數)。6這個數有個獨一無二的性質，它既是所有小於自身的因數的和，也是它們的乘積：6=1+2+3=1×2×3。
畢達哥拉斯學派(Pythagoreans)將6這樣的數稱作完美的[1](perfect)，意思是這個數是其所有真因數之和。對於一個數，我們把嚴格小於這個數本身的因數叫作它的真因數。這種完美性著實非常罕見。前5個完美數是6， 28， 496， 8128和33 550 336。對於這些偶的完美數我們已經了解了很多，然而直至今日，依然沒有人能回答古代人提出的基本問題，即是否有無窮多個這類特殊的數。另外，沒有人找到過一個奇的完美數，也沒有證明其不存在。任何奇完美數必然極其地大，並且由於奇完美性，這個數必須滿足一長串特殊的性質。但是，所有這些限製條件還不足以排除這樣一個數存在的可能——可以想象，這些特殊性質會引導我們去搜尋還未曾現身的第一個奇完美數，它可能隻是在等著被發現。
歐幾裏得早就發現，偶完美數與一列非常特殊的素數有緊密的聯係。它們被稱為梅森素數(Mersenne primes)，是以17世紀的法國教士馬蘭·梅森(Marin Mersenne)命名的。
梅森數(Mersenne number)是形如2p-1的數，這裏的p是一個素數。舉個例子，如果你取前四個素數2，3，5和7，那麽可以看出前四個梅森數是：3，7，31和127。讀者朋友可以很快驗證它們都是素數。如果p非素，比方說p=ab，那麽m=2p-1當然也不是素數，因為可以驗證在這種情況下m含有因數2a-1。倘若p為素，則對應的梅森數常常是素數，至少在我們看來是這樣的。
早在公元前300年，歐幾裏得就闡釋過：一旦你有一個素的梅森數，那麽就存在一個與之對應的完美數，即P=2p-1(2p-1)。讀者朋友可以迅速驗證，前四個梅森素數確實給出上麵所說的前四個完美數。例如，用第三個素數5作為種子，我們得到完美數P=24(25-1)=16×31=496，即前述列表裏第三個完美數。P的因數是直到2p-1的2的各次冪，以及這些數乘上素數2p-1。現在剩下要做的就隻是一項練習了：將所謂的幾何數列(geometric series，將在第5章中解釋)求和，以便檢查P的真因數之和確實是P。