實數和複數
我們會很想把這些關於特定方程的煩惱都丟在一邊，直接聲稱我們已經知道實數是什麽了——它們是所有可能的小數展開式組成的集合，包括正的和負的。這我們已經很熟悉了，在實際應用中大家也知道如何運用它們，因此我們覺得自己的位置是堅實的——至少在我們開始問一些很基本的問題之前。數的主要特點在於你可以加、減、乘和除。但是，舉例來說，你怎樣才能將兩個無限不循環小數相乘呢？我們指望小數的長度有限，然後你就可以“從最右端開始”，但對於無限小數來說沒有這樣的東西。其實這是可以做到的，不過從理論和實際操作上講它都很複雜。如果你解釋如何加和乘都非常困難的話，這個數的係統似乎就不夠令人滿意。
你也許會覺得上麵所提出的基本問題耐人尋味，或者你會對我們的自省感到不耐煩。畢竟，之前所有的航程都是一帆風順的，我們似乎是在自找麻煩。但有一點是無法忽視的。數學家們認為，任何時候我們引入新的數學對象，重點是要從已知對象出發再構造它們，就像分數可以被看作一對普通整數。這樣，我們能夠仔細地定義新推廣的係統所遵循的規則，從而了解自己所處的位置。倘若我們完全忽視基礎，日後它便會出來找麻煩。例如，微積分學脫胎於對運動的研究，它發展得極快，並且獲得了光輝的成就，比如預測行星的軌道。然而，像對待有限事物一樣處理無限事物，有時候能賦予我們驚人的洞察力，有時候卻完全沒有意義。將數學係統建立在堅實的基礎上，我們就能學會如何分辨真假。在實踐中，數學家們經常沉迷於“形式化”(formal)的操作，這是為了能看清遠方的海麵上是否會浮現出嶄新的定理。要是結果值得注意，我們就可以通過回溯基本概念和引用已經恰當地建立起來的結果，來嚴格地證明它。