無窮之中的無窮
伽利略·伽利雷(Galileo Galilei)是16世紀意大利偉大的博學家，他第一個提醒我們注意，無限集合和有限集合的性質有著根本上的不同。正如本書第一頁所暗示的，如果一個有限集合的元素可以和另一個集合的部分元素配對，那麽第一個集合的大小就小於第二個。然而，與此相反，我們可以用這種方法將無限集合與自身的子集(subset)對應起來(這裏子集這個術語表示原集合內包含的一個集合)。要理解這一點，我們都不需要超出自然數數列1， 2， 3， 4，…。我們可以輕易地舉出這個集合的任意多個子集，它們都形成無限集合，從而與全集形成一一對應的關係(見圖8)：奇數1， 3， 5，7，…，平方數1， 4， 9， 16，…，以及不那麽明顯的素數2， 3， 5， 7，…。並且在每種情況下，其相應的補集(complementary set)，即偶數、非平方數及合數，也都是無窮的。
希爾伯特旅館(Hilbert Hotel)
大衛·希爾伯特(David Hilbert)是他那個年代最傑出的德國數學家。這家十分奇特的旅館總是與他的名字聯係在一起，它生動地體現了無限集合的奇妙性質。這家旅館的主要特點是它有無窮多房間，用1， 2， 3，…來編號，還誇下海口，希爾伯特旅館總是有空房。
一天晚上，這家旅館卻客滿了，也就是說每一間房裏都住了一位客人。令前台服務員沮喪的是，又一個客人出現了，並要住一間房。幸好經理出手了，他把服務員拉到一邊，教他如何處理這種情況，這才避免了尷尬的局麵。“讓1號房的客人搬到2號房，”他說，“2號房的搬到3號，以此類推。換句話說，我們通知整個旅館，要求n號房的客人換到n+1號房中，這樣1號房就可以空出來給這位客人了!”
因此你看，在希爾伯特旅館的確總是有空間的。但是到底有多大空間呢？