引言
不過，人們在19世紀最偉大的成就之一是充分意識到數域其實不是一維的，而是二維的。複數(complex number)構成的平麵才是大部分數學論辯的天然場地。這個結論是數學家和科學家通過解決問題才意識到的——為了能夠開展研究，解決現實中的問題，有必要擴展數的邊界。雖然很多問題似乎都隻跟普通的自然數有關。關於這個額外的維度是怎樣出現的，我們將在本章的末尾做出解釋，並在第8章中進一步探討這個話題。
加和減
整數指代所有“整的”數組成的集合，包括正的、負的以及0。這個集合通常用字母Z[1]來表示，它向兩邊無窮延伸：
{…，-4，-3，-2，-1， 0， 1， 2， 3， 4，…}
我們常把整數看作水平數軸上等距的點，它們按以上的次序排列。為了能用整數運算，下麵總結了我們需要知道的額外的規則：
(a)加上或減去一個負整數，-m：加的時候我們向左移動m個位置，減的時候我們向右移動m個位置。
(b)乘以整數-m：我們將原整數乘以m，接著再改變符號。
換句話說，加上或者減去負數的方向和正數情況下的相反，而將一個數乘以-1則會使得它的符號反轉。比如：8+(-11) = -3， 3×(-8) = -24，(-1)×(-1) = 1。
你無需為最後那個式子困擾。首先，一個負數乘以一個正數得到負數，這是合理的。因為當債務(負的量)產生了利息(一個大於1的正乘數)，結果會是更重的債務，也就是說一個值更大的負數。這一點我們都很清楚。一個負數乘以一個負數，應該給出相反的結果，即一個正數，這樣才與前麵的一致。我們甚至可以給負負得正這個事實一個嚴格的證明。它基於這樣的假設：我們希望擴展的整數係統包含了原來的自然數，並且繼續遵守所有代數運算的普通規則。事實上，兩個負數的積可以從任何數乘以0等於0推出。(這個結論也不是一個假設，而是代數法則的必然結果。)我們現在有：