從計數問題中自然產生的數很重要，因此它們已經被研究得很深入了。這裏我將介紹二項式係數，以及卡特蘭、斐波那契和斯特林所發現的數。這些數被用於枚舉某些自然形成的集合。不過，還是讓我們從一些非常基本的數列開始吧。
三角形數、算術數列和幾何數列
因為它們在二項式係數裏還會出現，讓我們花點時間複習一下三角形數(triangular numbers)。這一數列的第n項，記為tn，定義為前n個正整數的和。它的值依賴於n，可以用下麵這個技巧來計算。我們將剛剛提到的和的形式寫作tn，接著以倒序再寫一遍：
tn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n.
tn=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1.
例如，取a=1和b=2，則前n個奇數之和為n+n(n-1)=n+n2-n=n2，即n的平方。
如果把加法操作替換為乘法，算術數列就變成了幾何數列[1](geometric series)。算術數列中，相鄰兩項相差一個公差(common difference)，即我們的b。換句話說，從一項到下一項，我們要加上b。幾何數列中，我們還是取一個任意數a為首項，但是通過乘一個固定的數——稱為公比(common ratio)，來得到下一項。這個比值記為r。也就是說，典型的幾何數列具有a，ar，ar2，…的形式，其第n項為arn-1。就像算術數列一樣，幾何數列的前n項和也有一個公式[2]：
要想看出這一公式的正確性，最快的方法是將等式兩邊同乘(r-1)並將括號展開。等式左端我們有：
(ar+ar2+ar3+…+arn)-(a+ar+ar2+…+arn-1).
這一表達式可以裂項相消(telescope)，即一個括號中，幾乎每一項都可以與另一括號中的一項互相消去，僅剩下arn-a=a(rn-1)。由此可見我們的求和公式是正確的。舉個例子，設a=1，r=2，我們得到2的各次冪之和：
1+2+4+…+2n-1=2n-1.
第3章中歐幾裏得通過梅森素數導出了偶完全數，這裏的公式恰好可以讓你驗證他的方法。