朋友，火柴盒子，你總很麵熟的了。它是長方形的，有長，有寬，又有高，這你都知道的，不是嗎？對於這種有長有寬又有高的東西，我們要計較它的大小，就得算出它的體積，算這種火柴盒子的體積的方法，算術裏已經講過，是把它的長、寬、高來相乘。因此，這三個數中若有一個變了一點，它的體積也跟著要變的，所以我們可以說火柴盒子的體積是這三個量的函數：設若它的長是a，寬是b，高是c，體積是v，我們就可得出下麵的式子：
v=abc
假如你有的火柴盒子是燮昌公司的，我有的卻是丹鳳公司的，你一定要和我爭，說是你那一個的體積比我這一個的大。朋友！空口說白話，絕不能叫我心服，我得向你要證明，你有法子嗎？你隻好將它們的長、寬、高都比一比，找出燮昌的盒子有一邊，或兩邊，甚而至於三邊，都比丹鳳的盒子要長些，你真能這樣，我自然隻好啞口無言了。
我們借這個小問題做引子，來看看火柴盒子這類東西的體積的變化是怎樣一個情景，先得想象它的長a、寬b和高c都是可以隨我們的意思叫它們伸縮的。
再得想象，它們的變化是連續的，好像你用打氣筒套在足球的橡皮膽上打氣的一般。火柴盒的三邊既然是連續地變，它的體積自然也得跟著連續地變，而恰好是三個變數a、b、c的連續函數。到了這裏，我們就有了一個問題：
“當這三個變數同時連續地變的時候，它們的函數v的無限小的變化，我們怎樣去測呢？”
以前，為了要計算無限小的變化，我們請出了一件寶貨——導數來，不過那時的函數是隻依賴著一個變數的；現在，我們就來看，這件寶貨碰到了幾個變數的函數，它還靈不靈。
第一步我們先注意到，我們能夠將下麵的一個體積，