堆羅漢這種遊戲，是學校中所常見到的，這裏用不到再來說明，隻不過取它做個例子：從最下排起數上去，每排次第少一個人，直到頂上隻有一個人為止。像這類依序相差同樣的數的一群數，在數學上我們叫它們是等差數列。關於等差數列的計算，本不十分難懂，小學的算術教本裏麵也都有得講到，所以這裏也將它放在一邊，單隻講從1起到某一數為止的若幹個連續整數的和，用式子表示出來，就是：
（1）1+2+3+4+5+6+7+……
和這個性質相類似的，還有從1起到某數為止的各整數的平方和同著立方和，就是：
（2）12+22+32+42+52+62+72+……
（3）13+23+33+43+53+63+73+……
照圖3看去，這個長方形由A，B兩塊組成，而B恰好是A的倒置，所以：
A=1+2+3+4+5+6+7
B=7+6+5+4+3+2+1
A，B的總和是相同的，各等於全個矩形的麵積的一半。至於這個矩形的麵積，隻要將它的長和寬相乘就可得出了，它的長是7，寬是7+1，因此麵積便是：
7×（7+1）=7×8=56
這個式子推到一般的情形去，就變成了：
第二、第三個例子，我們也可以用圖形來研究它們的結果，不過更繁雜一點，但也更有趣味，現在還是分開來討論吧。
從圖4，我們注意小方塊的數目和大方塊的關係，很明白地可以看出來：
12=1
22=1+3
32=1+3+5
42=1+3+5+7
……
72=1+3+5+7+9+11+13
若用話來說明，就是2的平方恰等於從1起的2個連續奇數的和，3的平方恰等於從1起的3個連續奇數的和，一直推下去，7的平方就是從1起的7個連續奇數的和。所以若要求從1到7的7個數的平方和，隻需將上列七個式子的右邊相加就可以了。但這個法子雖沒有什麽不合理，畢竟不簡便，而且從它要找出一般的式子也不容易，因此我們得另找一條路。