17-1 貝葉斯推理中經常使用的連續型分布——“貝塔分布”
在我們之前介紹的貝葉斯推理中，為實現先驗分布而設定的類別是有限的。例如，第1講中，關於顧客購買商品的推理，分為“來買東西的人”和“隨便逛逛的人”兩類；第2講中，癌症檢查的結果，分為“癌症”和“健康”兩類；第4講中關於第二胎性別的案例，分為“生女孩的概率為0.4的夫婦”、“生女孩的概率為0.5的夫婦”、“生女孩的概率為0.6的夫婦”這三類。
像上述這樣，在有限的類別中進行貝葉斯推理的情況並不少見，但也有很多時候，必須要分為無限個連續的類別才行。例如，第4講中關於第二胎性別的案例，如果把“生女孩”的概率p僅僅設定為0.4、0.5、0.6這三種的話，顯然是不夠的。毫無疑問，在這個案例中，概率p的取值範圍應該為0≤p≤1。那麽，因為類別總共有連續的無限個，所以在設定先驗概率時，需要設置為連續型概率分布。
本講將介紹貝葉斯推理中出現頻率很高的“貝塔分布”。理解“貝塔分布”，需要用到微分、積分等難度較大的數學知識，而本書在講解時會盡量避免這種方式，而是采用直觀的圖解方法來進行說明。
17-2 何為“貝塔分布”
首先介紹“貝塔分布”這一概率分布的概念。從計算公式入手來看：橫軸x代表基本事件的數值，縱軸y代表概率的密度。上一講中已經講過，概率密度是指“乘以區間的長度後可以轉化為概率的量”。
貝塔分布可以用以下公式來表達：
y＝（常數）×xα-1（1-x）β-1 （0≤x≤1） …（1）
出現在指數部分α和β，應為大於1的自然數，它用來決定貝塔分布的種類。換言之，如果賦予α和β具體的數值，就能夠決定一次貝塔分布。當α、β為較小的數值時，貝塔分布的圖表為相對簡單的模型；反之，當α、β為較大的數值時，貝塔分布的圖表則為比較複雜的模型。另外，寫著“常數”的部分，是為了使標準化條件（所有事件的概率之和為1）成立，而進行了調整的數值，因此在貝葉斯推理中並不是那麽的重要。