1. 問題的提出
軋製鋼坯變成成品鋼材通常要經過兩道工序：第一道是粗軋（熱軋），即形成鋼材的雛形；第二道是精軋（冷軋），即得到鋼材的規定長度.粗軋時由於設備、環境等隨機因素的影響，鋼材雛形的長度大體上服從正態分布，其均值可以在軋製過程中由軋機調整，另其方差或標準差是由設備的精度確定，不能隨意改動.容易知道鋼材軋製中可以由以下兩種情況造成浪費：情況一，粗軋後的鋼材長度大於規定長度，精軋時把多餘的部分切掉，形成浪費；情況二，粗軋後的鋼材長度小於規定長度，則整根無用，造成更大浪費.
請用數學模型研究如何調整粗軋後鋼材長度的均值使得經兩道工序後得到成品鋼材時造成的總浪費最小.上述問題化成數學問題為：已知成品鋼材的規定長度l和粗軋後鋼材長度的標準差σ，如何調整粗軋後鋼材長度的均值，使得總浪費最小.
2. 問題分析
記粗軋後鋼材長度的均值為m（待定），另設粗軋後鋼材長度為X，則X服從均值為m，方差為σ2的正態分布，即X~N(m,σ2).設X的密度函數為p(x)，則p(x)=12πσexp－(x－m)22σ2.
顯然這是一個優化模型，關鍵在於選擇適當的目標函數，並用l，σ和m把目標函數進行表達.
首先嚐試以兩種浪費長度之和作為目標函數.根據軋製過程中的兩種浪費情況，一是當X≥l時，精軋時要切掉長為X－l的鋼材，且切掉多餘部分的概率為P(X≥l)=ΔP，P是圖46中的陰影部分的麵積；二是當X