可口可樂、雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐(易拉罐)頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少？為什麽？它們的形狀為什麽是這樣的？
找一個可口可樂飲料罐具體測量一下:它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為6厘米和12厘米.中間胖的部分的直徑約為6.6厘米,胖的部分高約為10.2厘米.可口可樂飲料罐上標明淨含量為355毫升(即355立方厘米).根據有關的數據,要求通過數學建模的方法來回答相關的問題.
1. 參考問題
我們先看這樣的數學題:“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋(或有蓋)容器,問應當如何設計,才能使用料最省,這時圓柱的直徑和高之比為多少？”(一般數學分析或高等數學教材中導數的應用(極值問題)部分的一道例題).實際上,用幾何語言來表述就是:體積給定的圓柱體,其表麵積最小的尺寸(半徑r和高h)為多少？
表麵積用S表示,體積用V表示,則有
S(r,h)=2πrh+2πr2=2π(r2+rh),V=πr2h,h=V/(πr2).
0=S′(r)=2π(2r－V/(πr2))=2πr22r3－Vπ,r=3V2π,
h=Vπr2=Vπ34π2V2=34π2V3π3V2=4Vπ=2r=d.即圓柱的直徑和高之比為1∶1.
2. 問題分析和模型假設
首先把飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的.要求飲料罐內體積一定時,求能使易拉罐製作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.
實際上,飲料罐的形狀是如下平麵圖形繞其中軸線旋轉而成的立體.
圖210飲料罐的實際形狀與假設形狀
用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因為要使勁拉),假設除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同,記作b,頂蓋的厚度為αb.想象一下,硬度體現在同樣材料的厚度上(有人測量過,頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我們可以進行如下的數學建模.這時必須考慮所用材料的體積.用S表示表麵積,體積用V表示.