為什麽火箭采用三級發射衛星呢？現加以研究.
1. 問題分析
火箭是一個複雜的係統,為了使問題簡單明了,這裏隻從動力係統及整體結構上分析,並假定引擎是強大的.
(1) 為什麽不用一級火箭發射人造衛星？
① 衛星進入軌道,火箭所需最低速度.
② 火箭推進力及速度的分析.
圖211衛星軌道
③ 一級火箭末速度上限(目前技術條件下).
(2) 理想火箭模型.
(3) 理想過程的實際逼近——多級火箭衛星係統.
2. 模型假設
(1) 衛星軌道為繞地球中心某一平麵的圓,衛星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平麵圓周運動,如圖211所示.
(2) 地球是固定於空間中的均勻球體,其他星球對衛星引力忽略不計.地球半徑為R,中心為O,地球質量看成集中於球心(根據地球為均勻球體的假設),其半徑為r,衛星質量為m,根據牛頓定律,地球對衛星的引力為:
F=G×mr2.
其中G為引力常數,可根據衛星在地麵的重量算出,即:
G×mR2=mg,G=gR2
代入上式得:
F=gR2×mr2=mg×Rr2,
由假設(1),衛星所受到的引力即它作勻速圓周運動的向心力,故又有:
F=m×v2r,從而速度為:v=R×gr.
取g=9.81m/s2,R=6400km,又取衛星離地麵高度為600km,則r=7000km,此時可得:v=R×gr=7.6km/s.
(3) 火箭在噴氣推動下做直線運動,火箭重力及空氣阻力均不計.
3. 模型建立
設在t時刻,火箭質量為m(t),速度為v(t),均為t的連續可微函數,由泰勒展式有:
m(t+Δt)－m(t)=dmdtΔt+o(Δt2),
這個質量的減少,是由於燃料燃燒噴出氣體所致.設噴出氣體相對於火箭的速度為u(就某種燃料而言為常數),則氣體相對於地球運動速度為v(t)－u.據動量守恒定律:
m(t)v(t)=m(t+Δt)v(t+Δt)－dmdtΔt+o(Δt2)(Δt－u).
從上兩式可得: