.2多元函數的偏導數與全微分

考試要點剖析

一、理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

1.　偏導數

（1）　定義：設函數z=f(x,y)在點p0(x0,y0)的某鄰域內有定義，當y固定在y0，而x在x0處取得增量Δx時，如果limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx存在，則稱之為z=f(x,y)在p0(x0,y0)處的對x的偏導數.記作zx(x0,y0)，fx(x0,y0)，zx′(x0,y0)或f′x(x0,y0).

即

f′x(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)Δx

類似地，z=f(x,y)在點p0(x0,y0)處對在點y的偏導數定義為

f′y(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0)Δy.

【概念理解點撥】

1）　偏導數是一元函數的導數，即

如果f(x,y0)關於x在點x=x0處可導，則f′x(x0,y0)=ddxf(x,y0)x=x0；

如果f(x0,y)關於y在點y=y0處可導，則f′y(x0,y0)=ddyf(x0,y)y=y0.

2）　求初等函數z=f(x,y)在具體點(x0,y0)處的的偏導數，可不必求出該函數的導函數，然後代入點(x0,y0)，而是先代入x=x0或者y=y0然後求一元函數的導數，這樣會更簡單.

3）　函數z=f(x,y)在點(x0,y0)處的偏導數是否存在與函數z=f(x,y)在點(x0,y0)是否存在極限、是否連續沒有任何關係.

4）　雖然dydx可視為dy與dx的商，但是zx和zy卻是整體記號，始終不可視為商的形式.

5）　如果函數

z=f(x,y)在區域D的每一點處均存在偏導數，則偏導數仍是

x,y的二元函數，記為

zx,zy,fx,fy或f′x(x,y),f′y(x,y).

【例6．3】求z=x2+3xy+y2在點（1,2）處的偏導數.

【詳解】把y看作常量，得zx=2x+3y，把x看作常量，得zy=3x+2y，將（1,2）代入上麵的結果，就得zxx=1

y=2=2·1+3·2=8，zyx=1

y=2=3·1+2·2=7.

2．　偏導數的幾何意義

f′x(x0,y0)表示曲線