考試要點剖析
一、理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件,了解二元函數極值存在的充分條件,會求二元函數的極值.
1. 極值的定義
設函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某鄰域內有定義，若對該鄰域內異於P0的任意點P(x,y)，總有f(x0,y0)≥f(x,y)（或f(x0,y0)≤f(x,y)）成立，則稱f(x0,y0)是函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處取得的極大值（或極小值）.
2. 有關條件
極值存在的必要條件：設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)一階偏導數存在，且(x0,y0)為極值點，則f′x(x0,y0)=0，f′y(x0,y0)=0.
【評注】
1） 方程組f′x(x,y)=0
f′y(x,y)=0的解，稱為函數z=f(x,y)的駐點.
2） 函數z=f(x,y)的極值點隻存在於其駐點或偏導數不存在的點.
3） 函數的駐點不一定是極值點.
極值存在的充分條件：設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內有二階連續偏導數，且f′x(x0,y0)=0，f′y(x0,y0)=0.令f″xx(x0,y0)=A，f″xy(x0,y0)=B，f″yy(x0,y0)=C,則
（1） AC－B20時具有極值，且當A0時有極小值
（2） AC－B20.
由題意f(0)0,g(0)0且A=－60，且A=－140，且A=140，則
函數z=z(x,y)在該點取極小值，z2(1,－1)=－2.
解法2將方程x2+y2+z2－2x+2y－4z－10=0配方得
(x－1)2+(y+1)2+(z－2)2=16.
從而有z=2±16－(x－1)2－(y+1)2.
由此可見x=1，y=－1時z=z(x,y)取得極大值為2+4=6，取得極小值2－4=－2.
【題型八】求條件極值和條件最值
【思路啟迪】求條件極值的方法總結：
1. 化為無條件極值：利用所給條件將多元函數極值化為一元函數極值來求.
2. 利用拉格朗日乘數法
【例17】求函數f(x,y)=x2+y2-3在條件x-y+1=0下的極值.
【詳解】方法1：化為無條件極值（條件較簡單）
由x-y+1=0知y=x+1，代入f(x,y)=x2+y2-3得