考試要點剖析
一、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.
1． 微分方程:含有一元未知函數及其導數的方程稱為常微分方程.
2． 微分方程的階:微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數稱為方程的階.
3． 微分方程的解:把函數代入方程成為恒等式,這個函數就叫方程的解.
4． 微分方程的通解:方程的解中含有任意常數且任意常數的個數與方程的階數相等.
5． 初始條件:確定通解中任意常數的條件稱為初始條件.對一階微分方程其初始條件為yx=x0=y0;對二階方程其初始條件為yx=x0=y0y′x=x0=y′0.
6． 特解：滿足初始條件的解稱為特解.
二、掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法，會解齊次微分方程．會用簡單的變量代換解某些微分方程.
一階微分方程dydx=f(x,y)的解法:
1. 變量可分離的微分方程
變量可分離方程的常見形式是dydx=f(x)g(y)，
【解法】(1) 若g(y)≠0，方程可改寫為dyg(y)=f(x)dx，求積分即得通解∫dyg(y)=∫f(x)dx．
若存在y0使g(y0)=0，直接驗算可知常值函數y=y0也是原方程的一個解．
(2) 更一般的變量可分離方程是M(x)P(y)dx+N(x)Q(y)dy=0．
當N(x)P(y)≠0時，經分離變量，方程可改寫成Q(y)P(y)dy+M(x)N(x)dx=0，
於是，積分可得通解∫Q(y)P(y)dy+∫M(x)N(x)dx=C．
若y0是函數P(y)的一個零點，則y=y0也是方程的一個解．如果不限定自變量是x，未知函數是y，且x=x0是函數N(x)的一個零點，則常值函數x=x0也是方程的一個解．在求解變量可分離的方程時，注意不要遺漏了這類常值函數解．
【例8.1】求方程1－x2y′=1－y2的通解.
【解析】此為變量可分離的微分方程，可分離變量得dy1－y2=dx1－x2，兩邊積分得arcsiny=arcsinx+C，C為任意常數.