考試要點剖析
一、理解線性微分方程解的性質及解的結構定理.
1． 二階常係數線性微分方程的定義
非齊次線性微分方程的形式：y″+ay′+by=f(x)(1)
齊次線性微分方程的形式：
y″+ay′+by=0(2)
其中，
a是
b已知常數，右端項f(x)是已知函數．當f(x)≡0時，方程稱為齊次的，否則，方程稱為非齊次的．
2． 二階常係數線性微分方程的解的結構
（1） 齊次線性微分方程解的結構
1） 若y1(x)和
y2(x)是齊次方程（2）的兩個解，則
C1y1(x)+C2y2(x)也是該方程的解.
2） 若y1(x)和y2(x)是齊次方程（2）的兩個線性無關的解即y2(x)y1(x)≠k，則C1y1(x)+C2y2(x)是該方程的通解.
（2） 二階常係數線性非齊次微分方程通解結構定理
1） 若y1(x)，y2(x)是方程y″+ay′+by=f(x)的兩個相異的解，則y(x)=y2(x)-y1(x)是對應齊次方程y″+ay′+by=0的一個解.
2） 若y*(x)，y(x)分別是方程y″+ay′+by=f(x)和y″+ay′+by=0的解，則y*(x)+y(x)是方程y″+ay′+by=f(x)的解.
3） 若y1(x)和y2(x)是對應齊次方程y″+ay′+by=0的兩個線性無關的解，y*是非齊次方程的一個特解，則方程y″+ay′+by=f(x)的通解是y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*，C1,C2是兩個任意常數．
基礎過關題型
【題型三】線性微分方程解的性質結構判定
【例8】設y1=3,y2=3+x2,y3=3+x2+ex都是二階非齊次微分方程的解，求該方程的通解.
【解析】由解的結構知該二階齊次線性微分方程的解為：
y2－y1=x2，y3－y2=ex，又x2ex≠常數，
故所求非齊次的通解為：y=C1x2+C2ex+3.
【例9】設非齊次線性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有兩個的解y1(x),y2(x),C為任意常數,則該方程通解是().
(A) C[y1(x)－y2(x)](B) y1(x)+C[y1(x)－y2(x)]
（C） C[y1(x)+y2(x)]（D） y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]