考試要點剖析
一、理解常數項級數收斂,發散及收斂級數的和的概念;掌握級數的基本性質及收斂的必要條件;掌握幾何級數與P－級數的收斂與發散條件;
1. 級數與部分和的概念
設{un}是一個數列,則稱表達式∑∞n=1un=u1+u2+u3+…為一個數項級數，簡稱級數.un稱為數項級數的通項,Sn=∑nk=1uk稱為數項級數的前n項部分和,簡稱部分和.
2. 級數的收斂與發散
對級數∑∞n=1un,令Sn=u1+u2+…+un,若limn→∞Sn=S,則此級數∑∞n=1un收斂,其和為S
即∑∞n=1un=limn→∞Sn=limn→∞∑nk=1uk=S.若limn→∞sn不存在,則稱∑∞n=1un發散.
【注】1） 利用級數的部分和數列{
Sn}，把研究級數收斂問題轉化為其部分和數列收斂問題.
2） un=Sn-Sn-1
【例9.1】判斷下列級數的斂散性,若收斂求該級數的和數
(1) ∑∞n=11n(n+1)，(2) ∑∞n=11n+n+1
【解析】（1） un=1n(n+1)=1n－1n+1
Sn=1－12+12－13+…+1n－1n+1=1－1n+1=1－1(n+1)2
limn→∞Sn=limn→∞1－1n+1=1=1，原級數收斂，且其和為1.
（2） un=1n+n+1=n+1－n
Sn=(2－1)+(3－2)+…+(n+1－n)=n+1－1
limn→∞Sn=limn→∞（n+1－1)=∞，原級數發散
3. 收斂級數的性質
(1) 數乘若級數∑∞n=1un收斂,k是任意實數,則級數∑∞n=1kun收斂,且∑∞n=1kun=k∑∞n=1un
(2) 加法若級數∑∞n=1un,∑∞n=1vn均收斂,則級數∑∞n=1(un+vn)收斂,且
∑∞n=1(un+vn)=∑∞n=1un+∑∞n=1vn
(3) 改變級數∑∞n=1un的任意有限項的值不影響其斂散性.
(4) 重組收斂級數加括號後所形成的級數仍收斂,且和的值不變.
【評注】注意此性質的反麵並不成立,即一個級數加括號所形成的級數收斂並不能保證原級數收斂.
但加括號後所形成的級數發散就能推出原級數發散;
(5) 級數收斂的必要條件:若級數∑∞n=1un收斂,則limn→∞un=0.