考試要點剖析
【大綱要求】了解Fourier級數的概念和狄利克雷收斂定理,會將定義在[－l,l］上的函數展開為Fourier級數,會將定義在[0,l］上的函數展開為正弦級數與餘弦級數,會寫出Fourier級數的和的表達式.
一、基本概念
1. 周期為2π的Fourier級數
若函數f(x)是周期為2π的函數,則
a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)
其中an=1π∫π－πf(x)cosnxdx,bn=1π∫π－πf(x)sinnxdxn=0,1,2,…稱為f(x)的以2π為周期的Fourier級數.an,bn稱為傅裏葉係數
記為f(x)~a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx).
【概念理解點撥】(1) 根據周期函數的性質：
an=1π∫a+2πaf(x)cosnxdx,bn=1π∫a+2πaf(x)sinnxdx
(2) 根據奇偶函數的性質
當f(x)是奇函數時,f(x)~∑∞n=1bnsinnx；(正弦級數)
當f(x)是偶函數時,f(x)~a02+∑∞n=1ancosnx(餘弦級數)
二、狄利克雷收斂定理
設函數f(x)是周期為2π的可積函數,且滿足
(1) f(x)在一個周期內連續或隻有有限個第一類間斷點
(2) f(x)在一個周期內至多有有限個極值點
則f(x)的以2π為周期的Fourier級數是收斂,且和函數S(x)滿足
S(x)=f(x),x是f(x)的連續點，
f(x－0)+f(x+0)2,x是f(x)的間斷點，
f(－π+0)+f(π－0)2,x=±π.
三、函數展開成傅裏葉級數
【情形1】設以
2l為周期的周期函數
f(x)在
[-l,l]上可積，則
f(x)的傅裏葉級數為
f(x)~a02+∑∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl．
其中係數
an=1l∫l－lf(x)cosnπxldx，bn=1l∫l－lf(x)sinnπxldx(n=0,1,2…)
【例9.13】設f(x)是周期為2π的周期函數，且在一個周期內的表達式f(x)=－1,－π