0.4方向導數、梯度、曲麵的切平麵、曲線的切線

考試要點剖析

一、了解空間曲線的切線與法平麵及空間曲麵的切平麵與法線的概念，會求它們的方程.

1.　空間曲麵的切平麵與法線

設曲麵Σ的方程為F(x，y，z)=0，則曲麵上點M(x0，y0，z0)處的法向量為

{F′x(x0，y0，z0)，F′y(x0，y0，z0)，F′z(x0，y0，z0)}

該點切平麵方程：

F′x(x0，y0，z0)(x－x0)+F′y(x0，y0，z0)(y－y0)+F′z(x0，y0，z0)(z－z0)=0

該點的法線方程：x－x0F′x(x0，y0，z0)=y－y0F′y(x0，y0，z0)=z－z0F′z(x0，y0，z0)

【注】若曲麵方程為z=f(x，y)，則轉化為F(x，y，z)=z－f(x，y)，

其法向量n={－zx，－zy，1}，此n指向與z軸正向夾角為銳角.

2.　空間曲線的切線與法平麵

（1）　參數式方程：設曲線的方程為x=φ(t)

y=ψ(t)

z=ω(t)，在曲線上對應t=t0的點P0(x0，y0，z0)處

切向量為：τ={′(t0)，ψ′(t0)，ω′(t0)}

切線方程：x－x0φ′(t0)=y－y0ψ′(t0)=z－z0ω′(t0).

法平麵方程為φ′(t0)(x－x0)+ψ′(t0)(y－y0)+ω′(t0)(z－z0)=0

(2)　一般式方程：

設曲線的方程為Γ：F(x，y，z)=0

G(x，y，z)=0，在點M(x0，y0，z0)處的切線方程和法平麵方程

方法1：視x為參數，則在點M(x0，y0，z0)處切向量τ={1，y′(x0)，z′(x0)}

切線方程：x－x01=y－y0y′(x0)=z－z0z′(x0)

法平麵方程：(x－x0)+y′(x0)(y－y0)+z′(x0)(z－z0)=0

方法2：在點M(x0，y0，z0)處的切向量為l=ijk

F′xF′yF′z

G′xG′yG′z={l，m，n}

切線方程：x－x0l=y－y0m=z－z0n.

法平麵方程：l(x－x0)+m(y－y0)+n(z－z0)=0．

二、理解方向導數與梯度的概念並掌握其計算方法

1.　方向導數的定義

設二元函數z=f(x，y)在點P0(x0，y0)的某鄰域內有定義，從P0點引射線l，並設P(x0+Δx，y0+Δy)為l上另外一點，如果極限limρ→0f(x0+Δx，y0+Δy)－f(x0，y0)ρ存在，則稱此極限為函數f(x，y)在點P0沿方向l的方向導數，記作fl，ρ=(Δx)2+(Δy)2.