1.1三重積分

考試要點剖析

一、理解三重積分的概念，了解三重積分的性質，會計算三重積分(直角坐標、柱麵坐標、球麵坐標).

1.　定義

設f(x，y，z)是空間閉區域Ω上的有界函數，將Ω任意分成n個小閉區域Δv１，Δv２，…，Δvn，其中Δvi表示第i個小閉區域，也表示它的體積.在每個Δυi上任取一點（ξi，ηi，ζi），作乘積f(ξi，ηi，ζi)Δυi(i=1，2，…，n)，並作和∑ni=1f(ξi，ηi，ζi)Δυi，如果當各小閉區域直徑中的最大值λ趨於零時，該和的極限總存在且唯一，則稱此極限值為函數f(x，y，z)在閉區域Ω上的三重積分，記作Ωf(x,y,z)dυ，即

Ωf(x,y,z)dυ＝limλ→０∑ni＝１f(ξi，ηi，ζi)Δυi，

其中f(x，y，z)稱為被積函數，f(x,y,z)dυ稱為被積表達式，dυ稱為體積元素．

x，y，z稱為積分變量，Ω稱為積分區域.

【注】若f(x，y，z)在Ω上連續，則三重積分Ωf(x,y，z)dυ

一定存在.

2．　物理意義

設一物體占有Oxyz上閉區域Ω，在點（x,y,z）處的體密度為ρ(x，y，z)，假定ρ(x，y，z)在Ω上連續，則物體質量M為

Ｍ＝Ωρ（x,y,z）dυ.

3．　性質

（以下總假設u=f(x，y，z)在空間閉區域Ω可積）

性質1（求空間體體積）Ω1dυ=V，V是Ω的體積

性質2（線性性質）設k1，k2為常數，則

Ωk1f(x，y，z)+k1g(x，y，z)dυ=k1Ωf(x，y，z)dυ+k2Ωg(x，y，z)dυ

性質3（積分可加性）設Ω1∪Ω2=Ω且Ω1∩Ω2≠，則

Ω1+Ω2f(x，y，z)dυ=Ω1f(x，y，z)dυ+Ω2f(x，y，z)dυ

性質4（比較性質）設在空間閉區域Ω上有f(x，y，z)≤g(x，y，z)，則

Ωf(x，y，z)dυ≤Ωg(x，y，z)dυ

特別地：|Ωf(x，y，z)dυ|≤Ω|f(x，y，z)|dυ

性質5（估值定理）設M，m分別f(x，y，z)在Ω上最大值和最小值，V是Ω的體積