1.3兩類曲麵積分

考試要點剖析

一、了解兩類曲麵積分的概念，性質及兩類曲麵積分的關係；掌握計算兩類曲麵積分的方法.

1.　對麵積的曲麵積分（第一類麵積分）

　定義：設曲麵Σ是光滑的，函數f(x，y，z)在∑上有界，把∑任意分割成n小塊ΔＳi（ΔＳi同時也代表第i小塊曲麵的麵積），設(ξi，ηi，ζi)是ΔSi上任意取定的一點，作乘積，f(ξi，ηi，ζi)ΔSi(i=1，2，…，n)並作和∑ni＝１f(ξi，ηi，ζi)ΔＳi.如果當各小塊曲麵的直徑的最大值λ→０時，這和的極限總存在且唯一，則稱此極限值為函數f(x，y，z)在曲麵Σ上對麵積的曲麵積分，記

Σf(x,y,z)dＳ＝Ｄf[x,y,z(x,y)]１＋z２x（x,y）＋z２y（x,y）dxdy.

　性質：

Σ(k1f(x，y，z)+k2g(x，y，z))dS=k1Σ1f(x，y，z)dS+k2Σg(x，y，z)dS

Σ1+Σ2f(x，y，z)dS=Σ1f(x，y，z)dS+Σ2f(x，y，z)dS

　計算

1)　直接法（轉化為定積分）

(1)　Σ：z=z(x，y)，Σ在xOy麵的投影區域Dxy

Σf(x，y，z)dS=Dxyf[x，y，z(x，y)]1+z2x+z2ydxdy

(2)　Σ：x=x(y，z)，Σ在yOz麵的投影區域Dyz

Σf(x，y，z)dS=Dyzf[x(y，z)，y，z]1+x2y+x2zdydz

(3)　Σ：y=y(x，z)，Σ在xOz麵的投影區域Dxz

Σf(x，y，z)dS=Dxzf[x，y(x，z)，z]1+y2x+y2zdxdz.

2)　利用奇偶性與對稱性

（1）　若曲麵Σ關於xOy麵對稱，則

Σf(x，y，z)dS=0f(x，y，z)關於z是奇函數

2Σ1f(x，y，z)dSf(x，y，z)關於z是偶函數Σ1是Σ中z≥0的部分.

（2）　若x，y互換後，曲麵Σ不變，則Σf(x，y，z)dS=Σf(y，x，z)dS

（3）　若x→y，y→z，z→x曲麵Σ不變，則

Σf(x，y，z)dS=Σf(y，z，x)dS

2．　對坐標的麵積分(第二類麵積分)

　定義設∑為光滑的有向曲麵，函數Ｒ（x,y,z）在Σ上有界，把Σ任意分成n塊小曲麵ΔＳi（ΔＳi又表示第i小曲麵的麵積），ΔＳi在xOy平麵上的投影為（ΔＳi）xy，（ξi，ηi，ζi）是ΔＳi上任意取定的一點，如果當各小塊曲麵的直徑的最大值λ→０時，limλ→０∑ni＝１Ｒ（ξi，ηi，ζi）（ΔＳi）xy總存在且唯一，則稱此極限值為函數Ｒ（x,y,z）在有向曲麵Σ上對坐標x，y的曲麵積分，記作ΣＲ（x,y,z）dxdy，即