重要概念、公式與結論
1． 兩個基本概念
1） 原函數：Ｆ′（x）＝f(x)
2） 不定積分：∫f(x)dx＝Ｆ（x）＋Ｃ
2． 基本積分公式：（僅列出幾個不易記與常考的，其餘的見基礎篇）
（1） ∫dxa２－x２＝arcsinxa＋Ｃ．（２） ∫dxx２±a２＝ln｜x＋x２±a２｜＋Ｃ
(3) ∫dxa２＋x２＝１aarctanxa＋Ｃ．(4) ∫dxa２－x２＝１２alna＋xa－x＋Ｃ．
(5) ∫secxdx＝ln｜sexx＋tanx｜＋Ｃ.（6） ∫cscxdx＝－ln｜cscx＋cotx｜＋Ｃ．
3． 三種主要積分法
（1） 第一類換元法（湊微分法）
若∫f(u)du＝Ｆ（u）＋Ｃ，則∫f(φ(x))φ′（x）dx＝Ｆ（φ（x））＋Ｃ
【評注】1. 適用對象：1) 被積函數為複合函數，且複合過程一般不含根式
2) 被積函數為兩個不同類型函數乘積，且有“親戚”(導——原)關係
即被積函數g(x)可以看作為兩個因子f［φ(x)］與φ′(x)的乘積g(x)=f［φ(x)］φ′(x)
且一個因子f［φ(x)］是φ(x)的函數，另一個因子φ′(x)是φ(x)的導數.
【例3.1】求∫11－x2ln1－x1+xdx
【解析】因為ln1－x1+x′=(ln(1－x))′－(ln(1+x))′=－11－x－11+x=－21－x2
所以，原積分=－12∫ln1－x1+xdln1－x1+x=－14ln1－x1+x2+C
【例3.2】I=∫sinxsinx+cosxdx=．
【解析】由於(sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx，故可以考慮將分子拆成分母的整數倍與分母導數的整數倍的和.
I=∫sinxsinx+cosxdx=I=∫A(sinx+cosx)+B(cosx－sinx)sinx+cosxdx，
從而有A－B=1
A+B=0，由此知A=12，B=－12.
則I=∫sinxsinx+cosxdx=∫12(sinx+cosx)－12(cosx－sinx)sinx+cosxdx
=12x－ln(sinx+cosx)+C
（2） 第二類換元法：
∫f(x)dxx＝φ（t）∫f(φ（t）)φ′（t）dt＝Ｆ（t）＋Ｃ＝Ｆ（φ－１（x））＋Ｃ
1） 三角代換