考試內容精講
一、定積分的概念與性質
1. 定義：設函數f(x)在區間[a，b］上有界，定積分∫baf(x)dx=limλ→0∑ni=1f(ξi)Δxi.
2. 可積的條件
1) 必要條件：f(x)在區間[a，b］上有界
2) 充分條件：f(x)在區間[a，b］連續或僅有有限個第一類間斷點；
【評注】幾個關係
(1) ★★★
(2) 一個函數有無原函數(不定積分)，
看五類間斷點若連續，必有原函數；
若有第一類間斷點，一定無原函數；
若有第二類間斷點，可能有原函數.
一個函數有無定積分，看
上表中左邊兩個框.若連續，定積分存在；
若有界，且有有限個第一類間斷點，存在.
(3) f(x)在I上連續→F(x)=∫xaf(t)dt在I上可導；
f(x)在I上可積→F(x)=∫xaf(t)dt在I上連續.(z字形法則)
舉例：1） f(x)=2，1＜x≤2
1，0≤x≤1
當0≤x≤1時，∫x0f(t)dt=x
當1＜x≤2時，∫x0f(t)dt=∫10f(t)dt+∫x1f(t)dt=1+2(x－1)=2x－1
此例說明：f(x)不連續，但可積，原函數不存在
2） F(x)=x2sin1x,x≠0
0,x=0，則F′(x)=f(x)=2xsin1x－cos1x,x≠0
0,x=0.
此例說明：f(x)不連續，但有原函數，在［0，1］上不可積(因為f(x)在(0，1)上無界)
二、幾個特殊函數的積分
1． 有關奇偶函數定積分性質
設a＞0.若f(x)在[－a，a］上連續，則有
∫a－af(x)dx=∫a0［f(x)+f(－x)］dx=0，f(x)為奇函數，
2∫a0f(x)dx，f(x)為偶函數，
【評注】若被積函數為非奇非偶函數，則可以利用定積分的可加性，以x=0為分界點，分成兩個定積分，再對其中一個積分作負代換x=－t，通常即可達到化簡的目的.
2． 周期函數的積分性質
若f(x)在(－∞，+∞)上連續且以T為周期，則有
1) ∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx2) ∫a+nTaf(x)dx=n∫T0f(x)dx