（C）的反例:xn=1n2為有界數列,yn=n滿足limn→∞xnyn=limn→∞1n=0,但yn不是無窮小；排除掉(A)、(B)、（C）,故選（D）.
【題型四】求函數的極限
方法1．利用有理運算法則求極限.
方法2．利用基本極限求極限.
方法3.利用等價無窮小代換求極限.
方法4．洛必達法則(第三講第二節討論).
【例10】求下列函數極限
(1) limx→02xarctan(1+x2)2sinx+xcosx(2) limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinx
(3) limx→0sinx+x2sin1xx+x2(4) limx→01+sin2x－cosxtan2x
(5) limx→02+e1x1+e4x+sinx|x|(6) limx→0tanx+(1－cosx)ln(1－2x)+(1－ex2)
【解析】(1) 原極限=2arctan1·limx→0x2sinx+x·cosx=π2limx→012·sinxx+cosx=π6.
【評注】很多同學誤以為arctan(1+x2)～1+x2，殊不知這個連無窮小都不是，何談等價無窮小代換！
(2) 原極限=limx→－∞4x2+x－1x+1+1xx2+sinxx=limx→－∞－4x2+x－1x2+1+1x－1+1x2sinx=1
【評注】本題最常見的錯誤解法如下:
limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinx=limx→－∞4x2+x－1x+1+1xx2+sinxx
=limx→－∞4x2+x－1x2+1+1x1+1x2sinx=3.
錯誤的原因在於自變量x→－∞,若x→+∞,則此題答案為3.讀者注意“正負有別”.此題也是常考極限limx→+∞1+x2x=1
limx→－∞1+x2x=－1的應用.
若讀者不能夠理解上述方法,請看下麵解法：
limx→－∞4x2+x－1+x+1x2+sinxx=－t(倒代換)limt→+∞4t2－t－1－t+1t2－sint=1.
(3) limx→0sinx+x2sin1xx+x2=limx→0sinxx+xsin1x1+x=1.
【評注】本題是00的極限，分子分母同除以無窮小的最低階是常用手段之一.
(4) 含根號，往往先做有理化.
原式=limx→01+sin2x－cosxx2·11+sin2x+cosx=12limx→01+sin2x－cosxx2
=12limx→01－cosxx2+sin2xx2=12+12limx→01－cosxx2=34.
(5) 因x→0時，極限式中含有|x|,e1x，故應分左右極限討論.
limx→0+2+e1x1+e4x+sinx|x|=limx→0+2+e1x1+e4x+sinxx=1+limx→0+2+e1x1+e4x=1+limx→0+(2+e1x)/e4x(1+e4x)/e4x=1