考試要點剖析
一、理解函數連續性的概念(含左右連續),會判斷函數間斷點的類型.
1. 函數在點x0處連續性的定義
定義1設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,如果當自變量在點x0處的增量Δx趨近於0時,相應的函數的增量Δy也趨近於0,即
limΔx→0Δy=0或limΔx→0[f（x0+Δx)－f（x0)]=0，
則稱函數y=f(x)在點x0處連續.
定義2設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,如果當x→x0時,函數f(x)的極限值存在,且等於x0處的函數值f（x0),即limx→x0f(x)=f（x0),則稱函數y=f(x)在點x0處連續,此時有limx→x-0f(x)=limx→x+0f(x)=f（x0).
定義3設函數y=f(x),如果limx→x-0f(x)=f（x0),則函數f(x)在點x0處左連續;如果limx→x+0f(x)=f（x0),則稱函數f(x)在點x0處右連續.
【概念理解點撥】
1) 從極限的角度看連續：定義1表明,若函數在某點x0處的增量Δx為無窮小時,相應的函數的增量Δy也是無窮小,即limΔx→0Δy=0,則函數在該點處連續.定義2表明,如果當x→x0時,f(x)→f（x0),即limx→x0f(x)=f（x0),則函數f(x)在點x0處連續.由此可見,對於討論函數的連續性問題,其關鍵運算就是求函數的極限.
2) 由上述定義2可知,如果y=f(x)在點x0處連續,則f(x)在x0處既左連續也右連續.
3） 函數f(x)在點x0連續,表示以下三條同時滿足:
① f(x)在x0有定義；
② limx→x0f(x)存在；
③ limx→x0f(x)=f(x0).
2. 函數在區間內(上)連續的定義
如果函數y=f(x)在開區間（a,b)內的每一點都連續,則稱f(x)在（a,b)內連續.
如果y=f(x)在開區間內連續,在區間端點a右連續,在區間端點b左連續,則稱f(x)在閉區間[a,b]上連續.
3. 連續函數的運算性質
1) (四則運算)在區間
I連續的函數的和、差、積及商(分母不為零),在區間
I仍是連續的.