★★依照如下箭頭方向證明下列定理
考試要點剖析
一、理解並會用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理和了解並會用柯西中值定理.
1． 費爾馬定理
若函數f(x)滿足條件：
(1) 函數f(x)在x0的某鄰域內有定義，並且在此鄰域內恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0).
(2) f(x)在x0處可導，則有f′(x0)=0.
【證明】不妨設f(x)≤f(x0),由導數定義可知f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0.
由極限保號性可知:δ0,
當x∈(x0－δ,x0)時,此時f(x)－f(x0)x－x0≥0,得f′－(x0)≥0;
當x∈(x0,x0+δ)時,此時f(x)－f(x0)x－x0≤0,得f′+(x0)≤0;
又因為f(x)在x0處可導.即f′－(x0)=f′+(x0).
綜上,f′(x0)=0.
【注】考研中拉格朗日中值定理的證明考過,費馬引理證明未考過,證明過程用了導數定義和保號性；羅爾定理的證明也沒有考過,是利用費馬引理證明的！希望讀者們重視兩個定理的證明過程！
2. 羅爾定理
設函數f(x)在[a,b]上滿足三個條件:
(1) f(x)在[a,b]上連續;
(2) f(x)在（a,b)內可導;
(3) f(a)=f(b),則至少存在ξ∈（a,b)使f′（ξ)=0.
【證明】因為f(x)在[a,b]上連續,故f(x)在[a,b]上有最大值、最小值.
設M,m為f(x)在[a,b]上的最大值、最小值,
(1) 當m=M時,f(x)=C=M=m(C為常數),則f′(x)=0,所以ξ∈(a,b)，有f′(ξ)=0.
(2) 當m≠M時，則M,m至少有一個在開區間(a,b)內部ξ取到，不妨設f(ξ)=M,則由費馬引理f′(ξ)=0.
【例3.1】設函數f(x)在[0,3]上連續，在(0,3)內可導，f(0)=0,f(1)=－1,f(3)=2.
證明：必存在
ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0.
【證明】由閉區間連續函數的零點定理及f(1)f(3)