聖彼得堡悖論是關於不確定性和無窮決策問題中最令人頭痛的一個。科學家從實際出發，進行了諸多消解這一悖論的嚐試，比如效用遞減論、風險厭惡論、效用上限論和結果上限論等，但它們最終並沒有解決這一問題。聖彼得堡悖論的理論模型不僅是一個概率模型，而且其本身就是一個統計的、近似的模型。當實際問題延伸至無窮大的時候，連這種近似也變得不可能了。
聖彼得堡悖論是瑞士數學家丹尼爾·伯努利的堂兄尼古拉·伯努利於18世紀提出的，它來自於一個賭徒與莊家玩擲硬幣的遊戲。悖論點就出現在賭徒的期望收益無窮大與賭徒參加該賭局的預付賭金是一個常數。
遊戲規則為：賭徒先預交一定數額的賭金，才能擁有參賭的資格。交完賭金之後，賭徒向空中拋擲一枚沒有被做過手腳的硬幣。
若第一次擲出反麵，賭徒什麽也得不到，賭局終止；若第一次擲出正麵，莊家給賭徒2元獎金，且賭局繼續，賭徒再次擲硬幣。
若第二次擲出反麵，賭徒就隻得拿著第一次擲出正麵所得的2元錢退出賭局，賭局結束；若第二次擲出正麵，莊家給賭徒4（2×2=4）元獎金，賭局繼續，賭徒接著擲第三次硬幣。
若第三次擲出反麵，賭徒拿著之前所得的4元錢退出賭局，賭局終止；若第三次擲出正麵，莊家給賭徒8（2×2×2=8）元獎金，賭徒接著擲硬幣。
……
以此類推，賭徒既可能運氣不好第一次就擲出反麵而退出賭局，也可能燒了高香，次次都擲出正麵，看著獎金成倍成倍地滾進自己的腰包。問題是，賭徒最多肯付多少錢參加這個遊戲？換句話說，就是莊家應將賭徒參加賭局的預付賭金設成多少元？
賭徒最多肯付的錢就是他對該遊戲的期望值。那麽，賭徒進行這個遊戲的期望值是多少呢？答案是：無限大，賭徒肯付出無限量的金錢去參加這個遊戲。即無論莊家將預付賭金設成多少元，賭徒都會覺得這個賭局始終是對自己有利的，哪怕傾家**產也會投身其中。原因如下：