一係統中由一命題推到另一命題，由一部分推到另一部分，須有它的推行的工具。推行的工具不止一種，“同”“等”“代替”等等均同時是推行的工具；但最重要的一方麵是“蘊涵”，一方麵是“所以”。這兩個思想在界說方麵重要，在係統方麵也重要。別的推行工具，我們可以不必特別提出討論，但這兩個工具似乎不能不提出。茲特先討論“蘊涵”，然後再討論“所以”。
1.“ 蘊涵”。蘊涵是命題與命題的關係。這關係在普通言語中以“如果——則”的方式表示之。提出蘊涵可真是非同小可，恐怕沒有人敢說事實上“蘊涵”的意義究竟是什麽一回事。現在各係統中所有的蘊涵可以分作以下數種討論。
a. 真值蘊涵。這種蘊涵是P. M. 係統中最基本的蘊涵。其所以稱真值蘊涵者，因為這關係根據於事實上兩命題的真或假。它的定義如下：“等於。那就是說“p是假的或q是真的”。“或”字在此不是不相容的“或”，所以這句話等於“p是假的而q是真的，或者p是假的而q也是假的，或者p是真的q也是真的”，所以這又等於說“p是真的而q是假的是假的”。隻要p、q所代表的命題事實上或者都真，或者都假，或p假而q真，我們均可以說。這個蘊涵關係有以下特點：
（一）p、q代表任何命題，照上麵的定義，等於如果“p”所代表的是一假命題，“q”所代表的命題可真也可假，而無論為真或為假，總可以說得過去；因為這兩可能均為的定義所承認。其結果是一假命題蘊涵任何命題。那就是說，
（二）如果q所代表的是一真命題，p所代表的命題可以真也可以假，而無論其為真或假，總可以說得通；因為這兩可能均為的定義所承認。其結果是任何命題蘊涵一真命題。那就是說，。
（三）既然如此，這種蘊涵關係就是很奇怪的蘊涵關係，盡管它是普通言語中一部分的“如果——則”的關係。對於這種蘊涵關係的批評很多，但大多數的批評不在否認此情形為關係，而在否認此關係為蘊涵關係。這差不多完全是“蘊涵”這名詞的問題。對於這個批評一方麵我們可以說，而P. M. 的作者也曾明白表示過，它們有用字的自由權；另一方麵我們也可以說，如果p、q兩命題有以上所表示的關係，則“如果p是真的，q也是真的”這一命題可以表示這樣的關係，因為p、q既有如此關係，則“p是真的而q是假的”是假的。請注意我們隻說“如果p是真的，q‘也’是真的”，我們不說“如果p是真的，q‘就’是真的”，因為p、q兩命題在此關係中不必有意義上的關係。