第五種工具：符號邏輯
想要理解符號邏輯過程的意義，你必須理解邏輯學和數學之間的關係。數學是邏輯學的一種特殊形式，邏輯學是具有一般性和廣泛性的推理科學，數學則是邏輯學的一個分支，它不是用一般語言而是用特殊符號來進行運算，而且從某種程度上來說數學還有自己的特殊技巧。在代數學中，X、Y、Z是用來代表未知數的常見符號。例如X2、X3、Xn這樣的形式，是用來表示多個X相乘的概念。像+（加）、-（減）、×（乘）、÷（除）這樣的運算符號所代表的概念需要用很多詞語來描述。因此，你可以看出數學是一種蘊含智慧的速記法。如果你想認真思考一下體現這個速記法價值的明顯例子，可以仔細想想用書麵語來表達長除法過程所代表的運算的難度。非常明顯，如果不使用數學符號，用一個很大的數字除以另一個很大的數字的工作量幾乎是令人望而生畏的。
普通的、傳統的數學已經發展出了某些邏輯過程，這些邏輯過程特別切合數學的主題，這是最具價值的創新。符號邏輯學家提出過這樣的理論，如果這些數學符號和學科適當地應用於邏輯學所包含的所有形式問題以及很多試圖解決的邏輯問題，就會取得以前更傳統並且更正統地開發數學這門學科所取得的驚人的進展一樣的成果。這個想法有可能會開花結果，但是在我看來這仍然是完全不可預測的事情。在符號邏輯中，你消除了某些語義困難，但是又引發了一些別的困難。你使用的是一種特殊的語言，它有自己的特殊價值，但是對於智力水平一般的人來說，甚至智力在一般水平以上的人來說，這種特殊的語言也存在巨大的障礙。
和其他一些係統一樣，符號邏輯有著悠久的曆史。我猜想，從某種程度上來說，亞裏士多德可以說就是一個符號邏輯學家，盡管我認為這種說法多少帶有一點誤導。然而，他在研究某些學科時確實使用了一些數學證明和相關方法。從亞裏士多德的時代直到今天，還有很多思想家也做過同樣的事情。這些人之中沒有一個人被真正恰當地說成是一個符號邏輯學家的原因是，你認為真正的符號邏輯學家不會僅僅用數學來解決問題或者證明一個論點。他會用數學來構造一整套包含了所有其他係統的完整的、內部統一的邏輯係統。就我所知，第一個這樣做的數學家是喬治·布爾。在1847年至1854年之間，他發表了四部關於這個課題的著作，其中最重要的一部是《思維規律的研究》。他在這部著作中的開場白是這樣的：“下列論述的目的是研究那些進行推理的思維活動的基本規律；用微積分學的符號語言來進行表達，在此基礎上構建其邏輯方法並建立邏輯科學；使這種邏輯方法成為應用數學概率原理一般方法的基礎；最後，從這些研究過程中搜集各種元素所表現出的一些可能是關於人類思維本質和構造的暗示。”