朋友，你對火柴盒一定不陌生吧？它是長方形的，有長，有寬，又有高，這你都知道，不是嗎？對於這種有長、有寬，又有高的東西，我們要計算它的大小，就得算出它的體積。算這種火柴盒的體積的方法，算術裏已經講過了，是把它的長、寬、高相乘。因此，這三個數中若有一個變了一點兒，它的體積也就跟著變了，所以可以說火柴盒的體積是這三個量的函數：設若它的長是a，寬是b，高是c，體積是v，我們就可得出下麵的式子：
假如你的火柴盒是燮昌公司的，我的卻是丹鳳公司的，你一定要和我爭，說你的火柴盒的體積比我的大。朋友！空口說白話，絕對不能讓我心服，你有辦法向我證明嗎？你隻好將它們的長、寬、高都比一比，找出燮昌的盒子有一邊，或兩邊，甚至三邊，都比丹鳳的盒子要長些，你真能這樣，我自然隻好啞口無言了。
我們借這個小問題做引子，來看看火柴盒這類東西的體積的變化是怎樣的。先假設它的長a，寬b和高c都是可以隨我們的意思伸縮的，再假設它們的變化是連續的，好像你用打氣筒套在足球的橡皮膽上打氣一樣。火柴盒的三邊既然是連續地變，它的體積自然也得跟著連續地變，而恰好是三個變數a，b，c的連續函數。到了這裏，我們就有了一個問題：“當這三個變數同時連續地變的時候，它們的函數v的無限小的變化，我們怎樣去測量呢？”
以前，為了要計算無限小的變化，我們請出了一件法寶——誘導函數來，不過那時的函數是隻依賴著一個變數的。現在，我們就來看這件法寶碰到了幾個變數的函數時，還靈不靈。
第一步，我們能夠將下麵的一個體積，
由以下將要說到的非常簡便的方法變成一個新體積：
開始，我們將這體積的寬b1和高c1保持原樣，不讓它改變，隻使長a1加大一點兒變成a2。