第一就說數學歸納法的證明。
什麽叫數學歸納法，在“堆羅漢”中已經說過，這裏要證明的第一個公式，也是那篇裏已證明過的。為了不曾看過那篇的人，隻好簡略地說一說。
所謂數學歸納法，一共含有三個步驟：
（Ⅰ）就幾個特殊的數，發現一個共同的式子。
（Ⅱ）假定這式子對於n是對的，而造出一個公式來。
（Ⅲ）設n變成了n+1，看這式子的形式是否改變。若不曾改變，那麽，這式子就成立了。
因為由（Ⅱ）和（Ⅲ）既知道這式子關於n是對的，關於n+1也就是對的。而由（Ⅰ）已知它關於幾個特殊的數是對的——其實有一個就夠了，不過（Ⅰ）隻由一個特殊的數要發現較普遍的公式的形式比較困難——設若關於2是對的，那麽關於2加1也是對的。2加1是3，關於3是對的，自然關於3加1也是對的。這樣一步一步地往上推，關於4加1，5加1，6加1……就無往而不對了。
以下就用這方法來證明上麵的公式：
王老頭子的湯團的堆法，各層都是正方形，頂上一層是一個，第二層一邊是二個，第三層一邊是三個，第四層一邊是四個……這樣到第n層，一邊便是n個。而正方形的麵積，這是大家都已經知道的，等於一邊的長的平方。所以若就各層的個數說，王老頭子每夜所做的一盤湯團便是：
Sn=12+22+32+42+…+n2
第一步我們容易知道：
第二步，我們就假定這種式子，關於n是對的，而得公式：
這就到了第三步，這假定的公式對於n+1也對嗎？我們在這假定的公式中，兩邊都加上（n+1）2這便是Sn+1，所以
這最後的形式和我們所假定的公式完全一樣，所以我們的假定是對的。
這公式是用於正三角錐形的，所謂正三角錐形，頂上第一層是一個，第二層是一個加二個，第三層是一個加二個加三個，第四層是一個加二個加三個加四個……這樣推下去到第n層便是：